Vektor 3 Dimensi: Pengertian, Cara Mencari Vektor 3 Dimensi dan Contoh Soalnya

Vektor erat hubungannya dengan Matematika bahkan kita juga banyak memanfaatkannya untuk mempermudah kehidupan sehari-hari. Vektor ini juga ada beberapa jenis mulai dari vektor 2 dimensi dan ada juga vektor 3 dimensi. Sobat Pijar kali ini akan fokus untuk mempelajari vektor 3 dimensi. Adapun untuk penjelasannya bisa langsung cek di bawah ini!

Baca juga: Vektor Fisika: Pengertian, Besaran, Resultan, Penjumlahan, dan Contoh Soalnya

Apa Itu Vektor 3 Dimensi

Dalam materi vektor 3 dimensi ini kamu perlu tahu dulu mengenai pengertiannya. Vektor dalam bangun ruang atau 3 dimensi merupakan vektor yang memiliki 3 buah sumbu yakni X, Y dan Z. Sumbu ini saling tegak lurus dan memiliki perpotongan menarik dari ketiga sumbu yang digunakan sebagai pangkalnya. 

Penting dipahami sebelum tahu cara menggambar vektor 3 dimensi dari gambar vektor 3 dimensi vektor yang ada pada ruang merupakan vektor yang letaknya di dalam ruangan 3 dimensi. Ruangan ini nantinya bisa berpotongan tegak lurus. Kemudian untuk hasil dari perpotongannya adalah O dan titik O tersebut disebut sebagai sumbu pusatnya. 

Adapun penjelasan mengenai kaidah yang berkaitan dengan vektor tiga dimensi bisa langsung cek semuanya di bawah ini!

1. Jari tengah menunjukkan sumbu X, bilangan yang arahnya sejajar dengan jari tengah dan letaknya ada setelah O masuk ke dalam kategori bilangan positif. Kemudian untuk arah dan letak yang ada sebaliknya merupakan bilangan negatif. 
2. Ibu jari menunjukkan sumbu X, bilangan ini nantinya akan searah dengan ibu jari dan terletak setelah O menjadi bilangan positif. Kemudian untuk letak dan arah sebaliknya maka menjadi bilangan negatif. 
3. Jari telunjuk menunjukkan keberadaan dari sumbu Y. Bilangan-bilangan yang letaknya ada setelah O dan arahnya sesuai telunjuk merupakan bilangan dengan nilai positif. Lanjut untuk arah dan letaknya maka bisa disebut sebagai bilangan negatif. 

Mencari Panjang Vektor 3 Dimensi

Apa yang dimaksud dengan panjang vektor? Panjang vektor merupakan jarak dari titik pangkal menuju titik dari ujung vektornya. Hal ini sesuai dengan penjelasan dari sisi aljabar yang menjelaskan bahwa titik pangkal vektor dan ujung titiknya memang dalam bentuk koordinat baik dalam segi dimensi dua maupun tiga. Sehingga rumus untuk menentukan panjang vektor bisa dilihat dari jarak dua titik. 

Sobat Pijar tahu tidak kalau penyajian vektor itu bisa diberikan dalam bentuk matriks satu kolom, pasangan bilangan berurutan atau kombinasi dari vektor satuannya. Untuk vektor 3 dimensi titik awal O(0, 0, 0) kemudian untuk titik akhirnya adalah (p, q, r). Sementara untuk penulisannya sebagai vektor v = (p, q, r).

Panjang dari vektor itu sendiri disimbolkan dengan huruf kecil yang diapit menggunakan tanda lurus seperti halnya nilai yang mutlak. Kemudian besar dari nilai panjang vektor merupakan jarak dari ujung vektor menuju pangkal vektor. Nantinya untuk panjang vektor yang posisi u dan v bisa didapatkan melalui perhitungan akar dari bilangan penyusun letak dari vektornya. 

Contoh Soal Vektor 3 Dimensi

Kamu perlu tahu sebelum memahami penjumlahan vektor 3 dimensi dan cara menghitung vektor 3 dimensi penting diketahui dulu beberapa persamaan berikut ini. Jika diketahui letak dari titik koordinat ujung vektor dan pangkal vektor maka panjangnya bisa dihitung menggunakan rumus Phytagoras. Contohnya jika vektor AB terletak pada A(x1, y1). 

Sementara kondisi lainnya yakni ujung vektor ada di bagian B(x2, y2). Hal ini menyebabkan perpotongan dari garis proyeksi kedua titik vektor AB bisa membentuk segitiga siku-siku yang memberikan persamaan untuk menghitung panjang vektor AB yakni |AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2. Lalu bagaimana dengan contoh soal yang banyak ditemui? 

Adapun, beberapa soal yang bisa kamu pelajari langsung saja cek semuanya lengkap di bawah ini!

Contoh Soal 1

Tiga buah vektor A = (2, 5), B = (-3, 7), dan C = (1, -2) membentuk segitiga. Hitunglah panjang sisi segitiga dan besar sudut yang terbentuk pada titik A.

Jawab:

Panjang sisi AB: $√[(-3 - 2)^2 + (7 - 5)^2] = √(25 + 4) = √29$

Panjang sisi AC: $√[(1 - 2)^2 + (-2 - 5)^2] = √(1 + 49) = √50$

Contoh Soal 2

Diberikan vektor A = (4, -2) dan vektor B = (1, 3). Hitunglah hasil kali skalar dari kedua vektor tersebut.

Jawab:

Hasil kali skalar A dan B: $A • B = (4 \times 1) + (-2 \times 3) = 4 - 6 = -2$

Contoh Soal 3

Ada suatu vektor X yang memiliki besaran 10 satuan. Berdasarkan data tersebut, kira-kira berapakah vektor -X seharusnya?

A. Vektor -X harus memiliki besar -10 satuan dan arah sama dengan vektor X.

B. Vektor -X harus memiliki besar 10 satuan dan arah sama dengan vektor X.

C. Vektor -X harus memiliki besar 10 satuan dan arahnya berlawanan dengan vektor X.

D. Vektor -X harus memiliki besar 10 satuan dan arahnya tegak lurus dengan vektor X.

E. Vektor -X harus memiliki besar -10 satuan dan arahnya tegak lurus dengan vektor X.

Jawab: C. Vektor -X harus memiliki besar 10 satuan dan arahnya berlawanan dengan vektor X.

Pembahasan: Jika suatu besaran vektor ditulis -X, artinya arahnya berlawanan dengan vektor X. Tetapi, besarnya sama alias nggak berubah, yaitu sama dengan vektor X.

Contoh Soal 4 

Sebuah pesawat terbang mengalami perubahan posisi dari titik P(4, 2) ke titik Q(8, 10). Tentukan vektor perpindahan pesawat tersebut.

Jawab:

Vektor perpindahan dari P ke Q: PQ = (8 - 4, 10 - 2) = (4, 8).

Contoh Soal 5 

Misalkan 𝐴 = (1,2) dan 𝐵 = (3,4), kemudian 𝑢⃗ merupakan vektor posisi 𝑂𝐴 dan 𝑣

merupakan vektor posisi (𝑂𝐵)

Perhatikan bahwa

𝑢⃗ + 𝑣 = 𝐴 + 𝐵

= (1,2) + (3,4)

= (4,6)

Di sisi lain, karena 𝑢⃗ dan 𝑣 memiliki inisial yang sama, yaitu 𝑂, maka berlaku aturan jajar

genjang, akibatnya 𝑢⃗ + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢⃗ juga merupakan vektor posisi 𝑂𝐷  di mana 𝐷 = (4,6).

____________________________________________________________

Baca juga: Gerak Lurus: Pengertian, Besaran, dan Jenis-Jenisnya

Sobat Pijar yang tertarik untuk belajar lebih mendalam mengenai vektor 3 dimensi dan pelajaran Matematika lainnya bisa langsung akses semua materi lengkapnya di Pijar Belajar saja. Pilihannya banyak dengan penyelesaian yang mudah untuk dipahami. 

Yuk, download Pijar Belajar atau klik banner di bawah ini untuk mulai belajar seru sekarang!