Turunan Fungsi Aljabar - Materi Kelas 11

“Aljabar ada turunan fungsinya?”, bisa jadi begitulah respon pertamamu saat membaca judul materi matematika ini di buku cetak atau di internet. Turunan fungsi aljabar adalah salah satu materi penting yang dipelajari di kelas 11 SMA dan dianggap sulit oleh kebanyakan orang karena mencakup banyak materi sekaligus. Tapi Sobat Pijar tidak perlu khawatir, yuk kita belajar bareng-bareng tentang konsep, rumus, sifat, dan contoh-contoh turunan fungsi aljabar!

Baca juga: Fungsi Kuadrat: Definisi, Rumus, dan Grafik

Apa Itu Turunan dalam Fungsi Aljabar?

Sebelum kita bahas materi turunan fungsi aljabar kelas 11 lebih lanjut, kamu harus tau dulu apa itu fungsi aljabar ya, Sobat Pijar. Nah, turunan fungsi aljabar tuh artinya kita menurunkan pangkat suatu fungsi dengan aturan yang sudah ditetapkan, lalu hasilnya jadi fungsi baru yang beda. Kalo dilihat dalam grafik, turunan fungsi aljabar akan menghasilkan garis singgung pada titik tertentu.

Nah, turunan aljabar nggak cuma satu tingkatan aja, bisa dua, tiga, empat, atau lebih banyak lagi. Tapi konsepnya sama aja di setiap tingkatannya. Bedanya cuma pada fungsi yang diturunkan saja, yang tentunya beda-beda tergantung hasil turunan sebelumnya.

Jika kamu ingin mempelajari materi fungsi dasar terlebih dahulu, klik di sini ya!

Konsep Turunan Fungsi Aljabar

Setelah kamu paham definisi turunan fungsi aljabar, sekarang kamu perlu tahu konsep dasarnya nih, Sobat Pijar. Konsep dasar turunan aljabar sebenarnya merupakan bentuk limit fungsi yang mendekati nilai nol 0/0. Nah, konsep turunan sendiri bisa dirumuskan seperti ini, nih:

Konsep aturan dalam turunan harus memiliki syarat, f(x) memiliki nilai limit. Sehingga turunan dapat dinotasikan dengan bentuk sebagai berikut.

$f'(x)$ merupakan turunan dari $f(x)$

$y' = f'(x)$ merupakan turunan dari $y = f(x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d \space f{x}}{dx}$ merupakan turnan dari fungsi dalam $x$

Dalam menghitung fungsi aljabar, kamu harus mengikuti metode dan rumus yang berlaku, ya Sobat Pijar. Kondisi ini penting untuk dipahami karena ada beberapa sifat yang berbeda antara nilai-nilai dalam fungsi turunan yang bisa diterapkan.

Nah, ada beberapa metode yang bisa dipake buat menyelesaikan turunan aljabar, seperti substitusi, pemfaktoran, dan pemangkatan. Jangan lupa pahami metode-metode ini biar kamu bisa ngitung turunan aljabar dengan benar, ya!

Apa Rumus Turunan Fungsi Aljabar?

Ketika menyelesaikan soal turunan fungsi aljabar, kamu perlu tahu beberapa cara dan trik mudah. Kalo ngitung turunan aljabar pakai definisi, bakal buang-buang waktu dan ribet banget. Nah, berikut ini adalah rumus dasar dari fungsi aljabar yang bisa kamu pelajari:

$f'(x) = lim_{h \rightarrow 0}$ $\frac{f (x + h) - f(x)}{h}$

$\downarrow$

$m = \frac{dy}{dx} = f'(x)$

Jika melihat rumus di atas, panahnya menunjukkan bahwa notasi turunan fungsi aljabar bisa macem-macem. Misalnya bisa jadi m (gradien garis singgung), bisa juga dydx, atau f’(x). Rumus di atas itu yang paling dasar buat turunan aljabar, tapi ada juga rumus-rumus lain yang bisa kamu dapetin kalo menjelaskan definisi turunan secara lebih umum.

Sifat Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Nah, buat kamu yang mau belajar tentang turunan fungsi aljabar, kamu juga perlu tahu nih tentang sifat-sifat turunannya. Misalnya, kalau kamu punya dua fungsi u dan v yang berbentuk variabel x, maka sifat turunan dari kedua fungsi tersebut bisa beda-beda. 

Beberapa sifat turunannya adalah seperti ini :

1. Jika $y = c$ maka $y' = 0$ atau $\frac{dy}{dx}$$= 0$ nilainya konstan.
2. Jika $y = u \pm v$ maka $y' = u' \pm v$ atau $\frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$
3. Jika $y = uv$ maka $y' = uv' + vu'$ atau $dydx = vdudx + udvdx$
4. Jika $y = un$ maka $y' = n . un - 1 . u'$ atau $\frac{dy}{dx} = n . un - 1 . \frac{du}{dx}$
5. Jika $y = \frac{u}{v}$ maka $y' = uv' - vu'v2$ atau $dydx = vdudx - udvdxv2$ dengan $v \neq 0$

Atau dapat juga digambarkan sebagai berikut:

1. Jika $y = c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y' = 0$
2. Jika $y = ax^n$ dengan a dan n anggota bilangan real, maka $y' = anx^{n-1}$
3. Jika $y = u \pm v$ dengan u dan v merupakan fungsi, maka $y' = u' \pm v'$
4. Jika $y = u.v$ dengan u dan v suatu fungsi, maka $y' = u'v + uv'$
5. Jika $y = \frac{u}{v}$ dengan u dan v suatu fungsi, maka $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Dengan paham sifat-sifat fungsi aljabar, Sobat Pijar jadi bisa mengambil jalan pintas untuk menyelesaikan soal turunan yang sulit. Sifat-sifat itu juga bisa disesuaikan dengan perintah soal yang diberikan.

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar

Berikut beberapa aplikasi dari turunan fungsi aljabar:

1. Persamaan Garis Singgung

Aplikasi dari fungsi aljabar yang pertama adalah buat hitung persamaan garis singgung pada kurva. Garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva disebut y=fx yang berada di titik (a,b). 

Garis itu juga bisa disebut sebagai garis normal dengan gradien garis normal di titik (a,b) yaitu:

$m = - \frac{1}{f'(a)}$  

yang akan dapatkan persamaan garis normal di titik (a,b) pada kurva y=fx yaitu

$y - b = - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$

2. Menggambar Grafik

Sobat Pijar, fungsi turunan aljabar juga bisa dipakai untuk menggambar grafik, lho! Aplikasinya simpel, bisa buat ngecek kondisi naik atau turunnya grafik. 

Misalnya, di antara a dan b adalah $x_1$ dan $x_2$, dan $x_1$ < $x_2$, lalu $f(x_1) < f(x_2)$. Maka, grafiknya naik.

Lalu, jika $x_1$ dan $x_2$ di antara a dan b, lalu $x_1 < x_2$ dan $f(x_1) > f(x_2)$, maka grafiknya turun.

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Berikut adalah contoh soal turunan fungsi aljabar beserta rumusnya:

1. Hitunglah turunan fungsi $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$

Jawab:

Rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut:

$f'(x) = nax^{(n - 1)}$

Dalam hal ini, n adalah pangkat dari variabel x dan na adalah koefisien variabel x. Maka, kita perlu menghitung koefisien dan pangkat setiap suku dalam fungsi f(x) terlebih dahulu:

Suku pertama = $3x^4$, maka $a = 3$ dan $n = 4$

Suku kedua = $-2x^3$, maka $a = -2$ dan $n = 3$

Suku ketiga = $5x$, maka $a = 5$ dan $n = 1$

Suku keempat = $-7$, maka $a = 0$ dan $n = 0$ (karena konstanta)

Maka, turunan fungsi fx adalah:

$f'(x) = 3 \times 4 x^{4-1} - 2 \times 3x^{2-1} + 5 \times 1 x^{1-1}$

$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$

2. Hitunglah turunan fungsi $g(x) = \sqrt{(3x - 5)}$

Jawab:

Rumus turunan fungsi aljabar untuk fungsi akar adalah sebagai berikut:

$y' = (\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}) \times f'(x)$

Maka, turunan fungsi $gx$ adalah:

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(3x - 5)}} \times 3$

_________________________________

Nah itu tadi beberapa penjelasan singkat tentang materi turunan fungsi aljabar kelas 11 SMA yang bisa kamu simak dan ikuti. Belajar matematika bisa jadi seru jika kamu tekun dan rajin! 

Jangan lupa untuk selalu berlatih mengerjakan soal agar benar-benar memahami materi tentang fungsi aljabar ini di aplikasi Pijar Belajar, ya! Ada ratusan video dan latihan soal yang dapat kamu akses agar lebih paham Matematika, lho! Wah, belajar di mana pun dan kapan pun jadi asyik, deh!

Yuk, download Pijar Belajar sekarang juga!