Transformasi Geometri: Pengertian, Jenis, dan Contoh Soalnya

Untuk memudahkan pengertian tentang transformasi geometris, bayangkan saja pohon yang di bagian atas itu adalah sebuah bangun datar, misalnya kotak. Lalu garis yang menjadi batas pemisah antara danau dengan tanah itu sebagai garis koordinat.

Kalau dilihat sepintas, titik-titik kotak tersebut seperti berbeda titik koordinatnya. Padahal sebenarnya cuma sekedar dibalik saja. Gambar pemandangan tersebut adalah sebuah contoh transformasi geometri jenis refleksi atau pencerminan.

Jadi sebenarnya apa sih definisi transformasi geometri itu? Yuk, simak penjelasannya berikut ini.

Baca juga: Suku Banyak: Pengertian, Operasi Aljabar, Pembagian, Kesamaan, dan Contoh Soalnya

Pengertian Transformasi Geometri

Melihat dari Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata transformasi memiliki arti perubahan rupa. Perubahan bisa terjadi pada bentuk, fungsi, sifat, atau perubahan lainnya. Sedangkan kata geometri merupakan ilmu ukur dalam matematika yang digunakan untuk menjelaskan sifat dari garis, bidang, sudut, hingga ukuran ruang.

Jadi jika kedua kata tersebut disatukan, maka transformasi geometri adalah perubahan rupa dipandang dari garis, sudut, bidang, juga ruang. Kalau dibuat dalam bentuk notasi matematika, bentuk awalnya adalah $(x, y)$ dan bentuk akhirnya menjadi $(x_2, y_2)$

Dalam kehidupan sehari-hari, pemanfaatan mengenai transformasi geometri ini diterapkan dalam desain arsitektur atau dalam pembuatan karya seni lho, Sobat Pijar!

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Ada empat jenis transformasi geometri yang perlu Sobat Pijar pahami, di antaranya:

1. Translasi 

Translasi adalah pergeseran atau perpindahan suatu titik sepanjang garis lurus. Contohnya adalah bangun datar yang cukup digeser tanpa mengubah arah atau ukurannya.

Translasi dapat diibaratkan seperti orang yang main perosotan. Orang yang bermain hanya berpindah tempat tanpa mengalami perubahan apapun, baik dari ukuran maupun posturnya. Ia hanya berpindah dari posisi atas perosotan ke posisi bawah.

Rumus umum translasi adalah misalnya titik $(x, y)$ kemudian dipindahkan sejauh vektor $(a, b)$, maka rumusnya akan menjadi begini:

$(x', y') = (x, y) + (a, b)$

$(x', y') = (x+a , y+b)$ di mana $(x^1, y^1)$ sebagai titik bayangan

2. Refleksi 

Jika membaca kata ‘refleksi’, maka yang terbayang adalah cermin kan, Sobat Pijar? Yup, seperti arti katanya, refleksi adalah transformasi geometri yang bersifat seperti cermin. Jadi perpindahannya jadi seperti kebalikan, persis seperti saat kamu bercermin atau selfie.

Di mana jarak dari titik atau objek asal ke cermin akan persis sama dengan jarak dari cermin ke titik atau objek bayangan. Jadi jika kamu berdiri tegak 30 cm dari cermin maka bayanganmu di cermin akan terlihat sama namun dengan posisi terbalik.

Secara matematika, refleksi menggunakan simbol Ma di mana a adalah sumbu cermin. Refleksi ada banyak jenisnya, tergantung sumbu mana yang digunakan sebagai ‘cermin’nya, yaitu:

• Refleksi terhadap sumbu - x, di mana (x, y) --> (x, -y).
• Terhadap sumbu - y, di mana (x, y) --> (-x, y).
• Terhadap garis y = x, di mana (x, y) --> (y, x).
• Terhadap garis y = -x, di mana (x, y) (-y, -x).
• Terhadap garis x = h, di mana (x, y) (2h – x, y).
• Terhadap garis y = k, di mana (x, y) (x, 2k – y).

3. Rotasi 

Sebutan lain dari rotasi adalah perputaran. Sehingga, rotasi transformasi geometri adalah pemindahan titik dengan cara memutarnya sejauh Ø derajat terhadap suatu titik tertentu.

Contoh sederhananya adalah permainan gasing, karena gasing berputar mengitari titik tengahnya. Pada bidang datar, hal yang menentukan rotasi adalah:

• Titik pusat rotasi.
• Besarnya sudut rotasi, merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan titik bayangan ke pusat rotasi.
• Arah sudut rotasi. Jika arahnya searah jarum jam maka sudut rotasinya negatif (-Ø) dan positif (Ø) jika diputar berlawanan arah jarum jam.

Rumusnya akan tergantung dari jenis rotasinya yaitu dimana titik pusatnya.

• Rotasi sejauh Ø dengan pusat (a, b) = $\begin{pmatrix} x^1\\ y^1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} cos Ø & -sin Ø \\ sin Ø & cos Ø \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x & -a \\ y & -b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
• Rotasi sejauh 90 dengan pusat (a, b) = $\begin{pmatrix} x^1 \\ y^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x & -a \\ y & -b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
• Rotasi sejauh 180 dengan pusat (a, b) = $\begin{pmatrix} x^1 \\ y^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x & -a \\ y & -b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
• Rotasi sejauh 270 dengan pusat (a, b) = $\begin{pmatrix} x^1 \\ y^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x & -a \\ y & -b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

4. Dilatasi 

Transformasi jenis dilatasi adalah perubahan ukuran suatu objek. Bentuk dan posisi awal dan akhir tidak diputar tapi ukurannya akan berubah. Itu sebabnya dilatasi juga disebut perkalian. Contoh termudahnya adalah seperti kita mencetak foto.

Bisa ukuran 2 x 3, 3 x 4, atau 4 x 6. Ukuran yang diperbesar atau diperkecil itulah yang disebut dilatasi. Contoh lainnya adalah miniatur seperti mobil-mobilan. Meski mainan, pembuatannya dibuat menurut skala dari bentuk mobil aslinya.

Jadi, dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah jarak titik menggunakan faktor pengali. Faktor pengali ini disebut juga faktor dilatasi atau faktor skala. Rumus umum dilatasi akan terlihat seperti berikut:

$(x^1, y^1) = (k, k) (x – a, y – b) + (a, b) = (k(x-a) + a , k(y-b) + b)$

Contoh Soal Transformasi Geometri

Berikut ini adalah contoh soal dari berbagai jenis transformasi geometris yang sudah dijelaskan di atas. Contoh ini dibuat dalam bentuk essay agar memberikan gambaran cara perhitungannya.

1. Garis g ditranslasikan oleh $T = (-1, 3)$ dan menghasilkan garis $g’ : 3x – 2y- 6 = 0$ . Maka persamaan garis g adalah …

Berdasarkan kesamaan dua matriks tersebut didapatkan: $x’ = x-1$ dan $y’ = y+2$

Dengan langkah substitusi $x’ = x-1$ dan $y’ = y+2$ ke persamaan garis g’ yaitu $3x - 2y-6 = 0$ tadi maka akan didapatkan:

$3(x-1) – 2(y+2) – 6 = 0$

$3x – 3 + 2y – 4 – 6 = 0$

$3x + 2y – 3 – 4 – 6 = 0$

$3x + 3y – 13 = 0$

Jadi persamaan garis g adalah $3x + 3y – 13 = 0$.

2. Titik $C(-2, 6)$ jika dicerminkan terhadap garis $y = -x$ maka bayangannya berada di titik …

$D’(-y, -x) = D’(-6, -(-2) = D’(-6, 2)$

3. Tentukan titik $A’$ dari rotasi titik $A (-1, 2)$ terhadap titik $(3, 4)$ sebesar 90 derajat.

$(x, y) (x’, y’) = (-y + a + b, x - a + b)$

$(−1 , 2) ( x’ , y’ ) = (−2 + 7 , −1 − (−1)) = (5 , 0)$

jadi nilai $A’ = (5, 0)$.

4. Titik $A (1, 2)$ akan dilatasi sebesar empat kali dengan pusat $(-5, 1)$. Tentukan letak titik $A’$.

$(x, y) (x’, y’) = (K(x - a) + a, K(y - b) + b)$

$(1, 2) (x’, y’) = (4(1 - (-5)) + (-5), 4(2 - 1) + 1)$

$(1, 2) (x’, y’) = (19, 5)$

Yuk coba kerjakan latihan soal transformasi geometri lainnya bareng Pijar Belajar dengan klik banner di bawah ini!

_________________________________________________________

Baca juga: Operasi Matriks: Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Beserta Contohnya

Nah, Sobat Pijar sekarang sudah mengenal dan belajar tentang transformasi geometri menurut masing-masing jenisnya. Contoh soal yang diberikan juga merupakan contoh perwakilan dari setiap jenis transformasi tersebut.

Jika ingin belajar lebih lanjut mengenai materi ini, Pijar Belajar bisa membantumu, lho! Selain ada materi transformasi geometri ini, kamu juga bisa mengakses materi lain seperti matriks, suku banyak, integral, dan masih banyak lagi dalam bentuk video materi, latihan soal, hingga pembahasan soal! 

Gak cuma sampai di situ, kamu bebas menggunakan Pijar Belajar dimanapun dan kapanpun kamu suka! Wah, bisa ngambis tanpa batas deh!

Yuk, gunakan aplikasi Pijar Belajar sekarang juga!