Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Positif dan Negatif

Sobat Pijar mungkin sudah mendengar tentang bilangan berpangkat. Itu, lho, angka kecil yang terletak di atas bilangan utama. Nah, Sobat Pijar bisa banget mengenali bilangan berpangkat melalui sifat-sifatnya. Seperti apa sih sifat sifat bilangan berpangkat itu? Yang pasti, bilangan berpangkat punya peran dan fungsi sendiri dalam perhitungan. Bahkan fungsinya juga bisa diterapkan di kehidupan kita sehari-hari, misalnya dalam pembuatan grafik. 

Dalam artikel kali ini, kita akan membahas tentang penjumlahan bilangan berpangkat, perkalian bilangan berpangkat, cara menyelesaikan bilangan berpangkat, dan cara menyederhanakan bilangan berpangkat. Yuk, simak pembahasan bilangan berpangkat bentuk akar dan logaritma di bawah ini! 

Baca juga: Contoh Soal dan Rumus Dilatasi Transformasi Geometri Matematika

Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Contohnya seperti $2^3$ yang merupakan 2 x 2 x 2. Namun, kenapa, sih, bilangan berpangkat digunakan dalam perhitungan matematika? Jawabannya adalah untuk menyederhanakan perkalian. 

Coba, deh, kalau misalkan kamu ingin menulis 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, tentunya ada banyak sekali bilangan yang kamu tulis. Nah, untuk menyederhanakannya, kamu bisa menulis $2^9$. Jadi sederhana sekali, kan? 

Bilangan berpangkat ini bisa berbentuk bilangan bulat atau pecahan. Jika pangkat bilangan itu bulat, maka bentuk bilangan berpangkatnya merupakan bilangan berpangkat bulat. Di sisi lain, jika bilangan berpangkat berbentuk pecahan atau rasional, maka bentuknya adalah bilangan berpangkat pecahan. Oleh karena bilangan berpangkat berbentuk perkalian dengan bilangan itu sendiri, maka bentuknya adalah perkalian berulang. Berikut contoh dan cara mengali bilangan berpangkat:

1. 2 x 2 

Ada 2 buah angka 2 yang dikalikan, maka cara menyederhanakan bilangan berpangkat adalah dengan angka kecil di atas, yaitu 2 x 2 = 2² = 4.

1. 3 x 3 x 3

Sama juga dengan tiga kali perkalian angka 3 di atas, bisa disederhanakan dengan 3³ = 9.

1. 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Menyederhanakan perkalian dengan pangkat menjadi penting pada perkalian bilangan yang sama dalam jumlah banyak seperti contoh di atas, atau yang lebih panjang lagi. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 bisa disederhanakan menjadi 5⁵ = 3.125.

Selain pangkat, kamu juga akan mengenal bentuk akar. Bilangan berpangkat dan bentuk akar merupakan dua hal yang sangat erat hubungannya. Bentuk akar adalah bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Bilangan bentuk akar akan berada di dalam tanda "√" yang disebut tanda akar. Bilangan yang ada di dalam "√" dinamakan indeks akar yang angkanya lebih besar atau sama dengan 2. 

Lalu bagaimana cara mengurutkan bilangan berpangkat? Cara mengurutkan bilangan berpangkat bisa diurutkan dari jumlah paling kecil ke yang paling besar. Tapi, urutan yang digunakan bukan berdasarkan indeks akarnya, tapi dari jumlahnya. 

Misalnya antara 2⁷ dan 3⁴ urutkan dari yang paling kecil. Kamu perlu menghitung hasil keduanya terlebih dahulu, setelah itu baru kamu bisa mengurutkan. Nah, jika diurutkan, maka hasilnya adalah 3⁴ terlebih dulu dan baru diikuti dengan 2⁷. Karena 3⁴ = 81 dan 2⁷ = 128.   

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Apa Saja?

Sifat bilangan berpangkat terbagi menjadi sifat-sifat bilangan berpangkat positif, sifat-sifat bilangan berpangkat bulat, sifat-sifat bilangan berpangkat nol, dan sifat-sifat bilangan berpangkat pecahan. Berikut ini sifat-sifat bilangan berpangkat dan contohnya serta aturan bilangan berpangkat:

1. Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

1. $a^m \times a^n = a^{(m + n)}$. Bila ada dua bilangan yang sama mempunyai pangkat lalu dikalikan, maka pangkat akan ditambah
2. $a^m \div a^n = a^{(m – n)}$. Bila ada dua bilangan yang sama mempunya pangkat lalu dibagi, maka pangkat akan dikurangi.
3. $(a^m)^n = a^{(m x n)}$. Bila ada satu bilangan berpangkat di dalam kurung lalu ada pangkat lagi, maka kedua pangkat tersebut dikalikan. 
4. $(a \times b)^n =a^n \times b^n$. Bila ada dua bilangan berbeda di dalam kurung, lalu diberi pangkat, maka dua bilangan yang berbeda itu mempunyai pangkat yang sama. 
5. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Dalam pecahan di dalam kurung dan diberi pangkat tersebut, penyebut tidak boleh 0, maka penyebut dan pembilang mempunyai pangkat yang sama.
6. $\frac{n}{\sqrt{a^m}} = a^(\frac{m}{n})$. Dalam bentuk akar ini, maka bilangan di depan akar menjadi penyebut dan bilangan di dalam akar menjadi pembilang. 

2. Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

1. $a^(-n) = \frac{1}{a^n}$. Bilangan dengan pangkat negatif sama dengan 1 dibagi bilangan berpangkat positif.
2. $a^(n) = \frac{1}{a^{-n}}$. Bilangan dengan pangkat positif sama dengan 1 dibagi bilangan berpangkat negatif.

3. Sifat Bilangan Berpangkat Nol

1. $a^0 = 1$. Semua bilangan berpangkat 0 hasilnya 1.

4. Sifat Bilangan Berpangkat Pecahan

1. $a\frac{1}{2} = \sqrt{a}$
2. $a^{\frac{m}{2}} = \sqrt{a^m}$
3. $a^{\frac{m}{n}} = ^n√a^m$
4. $a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$
5. $a^{\frac{m}{n}} : a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}$
6. $(a^{\frac{1}{m}})^{\frac{1}{n}}$ = $a^{\frac{1}{m \times n}}$
7. $(a^{m}{n})^{\frac{p}{q}}$ = $a^{\frac{m \times p}{m \times q}}$
8. $(a \times b)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} \times b^{\frac{1}{n}}$
   
9. $(\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}$  = $\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$
   

Contoh Soal Bilangan Berpangkat

Supaya lebih paham tentang bilangan berpangkat, sangat penting untuk berlatih mengerjakan soal-soal. Di bawah ini ada beberapa contoh soal bilangan berpangkat kelas 9 yang melatih cara menghitung bilangan berpangkat. Yuk, simak contoh-contohnya:

1. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini: $2³ \times 2⁴ : 2⁶$!

A. 2 ¼

B. 2 ½

C. $2$

D. $3^{\frac{1}{2}}$

Jawaban: B. 2 ½

Pembahasan:

$2^3 \times 2^4 : 2^6 = 2^{3+4-6}$

$2^3 \times 2^4 : 2^6 = 2^1$

2. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini: $(\frac{-1}{4})⁻⁴ \times (\frac{-1}{4})⁰ \times (\frac{-1}{4})⁴$ !

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4.

Jawaban A. 1

Pembahasan:

$(\frac{-1}{4})⁻⁴ \times (\frac{-1}{4})⁰ \times (\frac{-1}{4})⁴$

$= (\frac{-1}{4})⁻⁴⁺⁰⁺⁴$

= $(\frac{-1}{4})⁰$

= 1 

3. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini: $(\frac{1}{3})⁵ \times (\frac{1}{3})⁻⁷$!

A. 2²

B. 2³

C. 3³

D. 3².

Jawaban: D. 3²

Pembahasan:

$(\frac{1}{3})⁵ \times (\frac{1}{3})⁻⁷$

= $(\frac{1}{3})⁵⁺⁽⁻⁷⁾$

= $(\frac{1}{3})⁻²$

= 3²

____________________________________________________________

Baca juga: Rumus Refleksi, Konsep, Dan Contoh Soalnya

Nah, sekarang pasti Sobat Pijar sudah lebih paham kan tentang sifat sifat bilangan berpangkat dan cara menghitung bilangan berpangkat? Contoh sifat-sifat bilangan berpangkat di atas lebih mudah dipahami, kan? Kalau masih ingin mendalami materi yang sama, yaitu bilangan berpangkat, kamu juga bisa menemukannya di Pijar Belajar.

Di Pijar Belajar, Sobat Pijar nggak hanya bisa menemukan materi dan contoh soal matematika saja, lho, tapi ada banyak materi bidang studi lainnya yang dijelaskan sesuai dengan kelasnya. Jadi lebih mudah untuk dipelajari. Yuk, langsung meluncur ke berbagai materi yang ada di situs Pijar Belajar supaya makin pintar!