Rangkuman Matematika Kelas 10 | Nilai Mutlak Hingga Aturan Sinus Cosinus

Sejak duduk di sekolah dasar, kamu pasti sudah bertemu dengan mata pelajaran Matematika, ya. Nah, semakin naik jenjang pendidikannya, semakin kompleks juga, nih, materi Matematika yang kamu pelajari. Tapi kamu tak perlu khawatir karena Pijar Belajar sudah menyiapkan rangkuman Matematika kelas 10 untuk membantumu belajar. 

Dalam rangkuman Matematika kelas 10 ini, terdapat materi nilai mutlak, bentuk pertidaksamaan, sistem persamaan linear, pertidaksamaan linear, relasi fungsi, hingga perbandingan trigonometri. Tanpa berlama-lama lagi, yuk, simak penjelasannya di bawah ini. 

Baca juga: Materi Logaritma: Definisi, Rumus, Sifat, dan Contoh Soalnya

Rangkuman Matematika Kelas 10 Semester 1

Rangkuman materi matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 terdiri dari 3 bab, yaitu pengenalan nilai mutlak, bentuk khusus pertidaksamaan, hingga sistem persamaan linear. Membaca rangkuman Matematika akan memudahkanmu mengingat setiap poin-poin penting materinya.

1. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 1

Rangkuman matematika kelas 10 bab 1 membahas mengenai materi nilai mutlak, yakni nilai bilangan yang sifatnya selalu positif. Oleh karena itu, bilangan positif maupun nol memiliki nilai mutlak dari bilangan itu sendiri, sedangkan bilangan negatif nilai mutlaknya merupakan lawan dari bilangan tersebut.

Pedoman membuat grafik fungsi nilai mutlak adalah sebagai berikut.

1. Pertama-tama buat tabel fungsi nilai mutlak untuk beberapa titik 
2. Isi tabel berisi fungsi nilai mutlak 
3. Masukkan titik dari tabel fungsi nilai mutlak ke dalam sistem koordinat cartesius

Sifat-sifat nilai mutlak pada persamaan nilai mutlak linear satu variabel meliputi:

1. |x| = √x²
2. |a . b| = |a|. |b|
3. ab = |a||b|, b ≠ 0

Persamaan linear satu variabel bisa dihitung menggunakan persamaan nilai mutlak yang diberikan. Sebagai contoh, apabila diketahui |ax + b| = c, untuk nilai a, b, dan c adalah bilangan real. Berdasarkan definisi nilai mutlak maka didapatkan persamaan ax + b = c atau ax + b = -c.

Hanya persamaan nilai mutlak |ax + b| = c yang memiliki penyelesaian jika c ≥ 0.

Sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel:

1. Apabila bilangan a ≥ 0 serta |x| ≤ a, sehingga berlaku –a ≤ x ≤ a untuk setiap bilangan a, b, x bilangan real
2. Apabila bilangan a < 0 serta |x| ≤ a, sehingga tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak linear
3. Apabila bilangan |x| ≥ 0 serta a > 0, sehingga berlaku x ≥ a atau x ≤ -a
4. Berlaku aturan |a + b| ≤ |a| + |b| serta |a - b| ≥ |a| - |b|

2. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 2

Selanjutnya Sobat Pijar akan mempelajari materi matematika kelas 10 semester 1 bab 2 mengenai bentuk khusus pertidaksamaan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pernyataan Matematika dengan pangkat variabel tertinggi dua (kuadrat) dan dihubungkan dengan tanda lebih besar atau kurang dari yang lain. 

Bentuk Pertidaksamaan Kuadrat adalah 0 > px² + bx + c

Pertidaksamaan rasional adalah pernyataan Matematika berupa pecahan yang memiliki variabel pada sisi penyebut dan pembilang maupun penyebutnya saja. Biasanya pertidaksamaan ini memiliki fungsi rasional f(x) dan g(x) dan dihubungkan dengan tanda “<”, “>”, “”, “”.

Bentuk Pertidaksamaan Rasional: f(x) . g(x) > 0

Pertidaksamaan Irasional disebut juga sebagai bentuk pertidaksamaan dengan variabel ada di dalam tanda akar. 

Bentuk Pertidaksamaan Irasional: f(x) < y

3. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 3

Setelah mempelajari bentuk pertidaksamaan, pada rangkuman materi matematika kelas 10 semester 1 bab 3 kamu akan belajar tentang sistem persamaan linear. 

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan linear yang mempunyai 2 macam variabel dan umumnya dinyatakan dengan bentuk ax + by = d, nilai a, b tidak sama dengan nol. Kemudian, Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) adalah persamaan linear yang mempunyai 3 macam variabel dan umumnya dinyatakan dengan bentuk persamaan ax + by + cz = d, nilai a, b, dan c tidak sama dengan nol. 

Apabila terdapat 2 atau lebih PLDV dan PLTV dengan variabel yang sama maka akan membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).

Solusi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga Variabel:

1) Metode substitusi

1. Ambil salah satu persamaan yang lebih sederhana dan ubah bentuk persamaan sehingga satu variabel bisa dinyatakan dengan dua variabel lain 
2. Substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan lain agar terbentuk SPLDV atau Sistem Persamaan Linear Satu Variabel baru 
3. Lakukan langkah yang sama hingga diperoleh nilai seluruh variabel

2) Metode eliminasi 

1. Pilih persamaan dengan bentuk paling sederhana kemudian eliminasi salah satu variabel 
2. Eliminasi variabel yang tersisa hingga diperoleh seluruh nilai variabel

3) Metode eliminasi - substitusi

Rangkuman Matematika Kelas 10 Semester 2

Setelah selesai mempelajari materi Matematika semester 1, saatnya beranjak ke materi semester 2. Materi matematika kelas 10 semester 2 kurikulum 2013 terdiri dari empat bab yang membahas mengenai sistem persamaan dan pertidaksamaan linear hingga aturan sinus cosinus.

1. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 4

Materi matematika kelas 10 semester 2 bab 4 membahas mengenai Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear. 

Persamaan Linear Dua Variabel merupakan persamaan linear yang mempunyai 2 jenis variabel dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda "=". Bentuk PLDV umumnya ditulis dengan bentuk ax + by = d, nilai a, b tidak sama dengan nol. 

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel merupakan kalimat terbuka yang memiliki dua buah variabel dengan pangkat tertinggi variabelnya satu (linear), tidak dihubungkan dengan tanda sama dengan "=" melainkan dihubungkan dengan tanda “<”, “>”, “”, “”pada ruas kiri maupun kanan.

Sifat Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel:

1. Penjumlahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas tidak mengubah solusi pertidaksamaan linear
2. Perkalian bilangan di kedua ruas yang bukan nol tidak mengubah solusi pertidaksamaan linear
3. Jika kedua ruas dikali dan dibagi dengan bilangan positif sama maka tanda pertidaksamaan tetap
4. Jika kedua ruas dikali dan dibagi dengan bilangan negatif sama maka tanda pertidaksamaan diubah menjadi sebaliknya

Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) adalah persamaan dua variabel dengan pangkat tertinggi variabel adalah 2 dimana ruas kanan dan kiri dihubungkan dengan tanda =. Bentuk umum SPLKDV adalah 0 = px² + bx + c

Sementara Sistem Pertidaksamaan Linear Kuadrat Dua Variabel adalah persamaan dua variabel dengan pangkat tertinggi variabel adalah 2 dimana ruas kanan dan kiri dihubungkan dengan tanda “<”, “>”, “”, “”.Bentuk umumnya misalnya 0 > px² + bx + c

2. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 5

Rangkuman matematika kelas 10 bab 5 membahas mengenai materi Relasi dan Fungsi. Relasi merupakan aturan pemasangan setiap anggota himpunan ke anggota dari himpunan yang lainnya. Sedangkan fungsi merupakan relasi Matematika yang berfungsi untuk memasangkan seluruh anggota himpunan asal ke himpunan kawannya tepat satu anggota.     

Jenis-Jenis Fungsi:

1. Fungsi bijektif merupakan fungsi yang jumlah anggota domainnya sama dengan jumlah anggota pada kodomainnya.
2. Fungsi injektif merupakan fungsi satu-satu dimana anggota pada domain tidak pernah menunjuk ke elemen kodomain yang sama
3. Fungsi surjektif merupakan fungsi on-to yakni fungsi dengan anggota kodomainnya berelasi dengan semua anggota domainnya

Fungsi invers merupakan fungsi kebalikan, yaitu fungsi yang dibalik dari fungsi asalnya. Fungsi invers dilambangkan dengan fˉ¹. 

Langkah Membentuk Fungsi Invers:

1. Bentuk fungsi y = f(x) diubah menjadi bentuk x = f (y)
2. Variabel x diubah menjadi fˉ¹ (y) = f (y) 
3. Variabel y diubah menjadi x sehingga didapatkan rumus fungsi invers fˉ¹ (x)

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi:

1. Fungsi komposisi bersifat asosiatif: (f o (g o h)) (x) = ((f o g) o h) (x)
2. Fungsi komposisi tidak komutatif: (g o f) (x) ≠ (f o g) (x)
3. Fungsi komposisi mempunyai fungsi identitas I(x): (f o I) (x) = (I o f) (x) = f(x)

Rumus Fungsi Komposisi:

1. (g o f) (x) = g (f(x))
2. (f o g) (x) = f (g(x))

Karakteristik Fungsi Kuadrat:

1. Sumbu simetri x = - b2a
2. D adalah diskriminan untuk menentukan sifat akar persamaan kuadrat. Nilai D dihitung menggunakan rumus D = b² – 4ac
3. Titik balik grafik persamaan fungsi y = ax² + bx + c dengan koordinat (- b2a, - D4a)
4. Titik balik minimum diperoleh jika nilai a > 0 
5. Titik balik maksimum diperoleh jika nilai a < 0 

Penjelasan lengkap tentang materi Relasi dan Fungsi bisa kamu simak lewat Pijar Belajar, ya!

3. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 6

Selanjutnya, pada rangkuman matematika kelas 10 semester 2 bab 6 akan dibahas mengenai Perbandingan Trigonometri. 

Lingkaran satuan merupakan lingkaran yang dituliskan dengan persamaan x² + y² = 1.

Grafik fungsi trigonometri bisa digambar dengan dua cara: 

1. Membuat tabel nilai-nilai sudut istimewa 
2. Memakai lingkaran satuan

1) Bentuk grafik y = sin x, dengan nilai x adalah 0⁰ ≤ x ≤ 2𝞹. 

Sifat grafik y = sin x yaitu:

1. Nilai max = 1
2. Nilai min = -1
3. Besar periode = 2𝞹
4. Nilai sin (-x) = - sin x

2) Bentuk grafik y = cos x, dengan nilai x adalah 0⁰ ≤ x ≤ 2𝞹:

Sifat grafik y = cos x yaitu:

1. Nilai max = 1
2. Nilai min = -1
3. Besar periode = 2𝞹
4. Nilai cos (-x) = - cos x

3) Bentuk grafik y = tan x, dengan nilai x adalah 0⁰ ≤ x ≤ 𝞹:

Sifat grafik y = tan x yaitu:

1. Tidak memiliki nilai max dan min 
2. Nilai tan (-x) = - tan x
3. Besar periode = 𝞹
4. Garis α = ±90, ± 270, ± b.90 b merupakan bilangan ganjil atau asimtot

Tabel Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa

Rumus Identitas Trigonometri:

1. tan x = sin x/cos x 
2. cot x = cos x/sin x 
3. sin x = 1/cos x 
4. cos x = 1/sec x
5. tan x = 1/cot x 
6. sin² x + cos² x = 1

Persamaan Trigonometri:

1. 1 - (sin x)² = (cos x)² 
2. tan² x + 1 = sec² x
3. cot² x + 1 = csc² x

Kuadran I:

1. sin (90 – x)⁰ = cos x⁰
2. cos (90 – x)⁰ = sin x⁰
3. tan (90 – x)⁰ = cot x⁰
4. sec (90 – x)⁰ = csc x⁰
5. cot (90 – x)⁰ = tan x⁰
6. csc (90 – x)⁰ = sec x⁰

Kuadran II:

1. sin (90 + x)⁰ = cos x⁰
2. cos (90 + x)⁰ = - sin x⁰
3. tan (90 + x)⁰ = - cot x⁰
4. sin (180 - x)⁰ = sin x⁰ 
5. cos (180 - x)⁰ = - cos x⁰
6. tan (180 - x)⁰ = - tan x⁰

Kuadran III:

1. sin (180 + x)⁰ = - sin x⁰
2. cos (180 + x)⁰ = - cos x⁰
3. tan (180 + x)⁰ = tan x⁰
4. sin (270 - x)⁰ = - cos x⁰ 
5. cos (270 - x)⁰ = - sin x⁰
6. tan (270 - x)⁰ = cot x⁰

Kuadran IV:

1. sin (270 + x)⁰ = - cos x⁰
2. cos (270 + x)⁰ = sin x⁰
3. tan (270 + x)⁰ = - cot x⁰
4. sin (360 - x)⁰ = - sin x⁰ 
5. cos (360 - x)⁰ = cos x⁰
6. tan (360 - x)⁰ = - tan x⁰

Yuk, simak penjelasan lengkap materi Perbandingan Trigonometri di Pijar Belajar. Simak juga penjelasan fungsi trigonometri lebih lanjut dari artikel Pijar Belajar, ya. 

4. Rangkuman Matematika Kelas 10 Bab 7

Terakhir, dalam rangkuman matematika kelas 10 bab 7 akan dijelaskan tentang Aturan Sinus dan Cosinus. Aturan sinus merupakan aturan yang menunjukkan hubungan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sudut dengan sisi miring dari segitiga siku-siku. 

Aturan Sinus untuk Segitiga ADC, siku-siku di titik D adalah sebagai berikut. 

1. sin A = sisi depan / sisi miring
2. d sin A = a sin D 
3. a/sin A = d/sin D
4. Untuk segitiga ABC sembarang berlaku: asin   = bsin   = csin  

Kemudian, aturan cosinus merupakan aturan yang menunjukkan hubungan perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi miring dari segitiga siku-siku. Aturan cosinus bisa dipakai untuk menghitung besar salah satu sudut segitiga apabila panjang ketiga sisi segitiga diketahui.

Aturan Cosinus untuk Sembarang Segitiga ADC dengan setiap sisi adalah sisi a, d dan c adalah sebagai berikut. 

1. a² = d² + c² - 2 cd cos A
2. d² = a² + c² - 2 ac cos D
3. c² = a² + d² - 2 ad cos C

Untuk sembarang segitiga ADC dengan panjang setiap sisi adalah sisi a, d dan c, berlaku aturan luas segitiga:

Luas segitiga ADC = ½ x a x d x sin C = ½ x a x c x sin D = ½ x b x c x sin A

_______________________________________________________________

Baca juga: Vektor Matematika: Definisi, Notasi, Jenis, Operasi, dan Contoh Soalnya

Untuk memahami materi Matematika secara utuh memang tidak cukup hanya dengan membaca rangkuman, Sobat Pijar harus mencoba soal-soal untuk latihan. Namun rangkuman matematika kelas 10 di atas cukup membantu kamu yang mungkin lupa dan ingin mengulang materi.