Program Linear, Pengertian Model Matematika, dan Contoh Soalnya

Sudahkah kamu mempelajari program linear? Materi program linear ini biasanya bisa Sobat Pijar temukan dalam pelajaran matematika. Program linear adalah salah satu metode dalam menentukan solusi yang paling optimal dari permasalahan linear.

Sebelum mempelajari materi ini secara detail, kamu pasti pernah mempelajari persamaan garis, bukan? Nah, semua pengetahuan yang sudah kamu pelajari dalam persamaan garis itu akan dipakai ketika mempelajari tentang program linear tersebut.

Sudah tak sabar ingin belajar program linear dalam model matematika? Ayo simak ulasan lengkapnya di bawah ini.

Baca juga: Pengertian Matriks, Jenis, dan Transpose Matriks

Pengertian Program Linear

Berdasarkan Kompetensi Matematika 3 oleh Johanes S.Pd, program linear adalah bagian dari matematika dengan bentuk model. Bagian matematika ini terdiri dari pertidaksamaan linear sebagai salah satu langkah untuk memecahkan ragam permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Pada umumnya, kamu dapat menemukan dua bagian dari program linear. Dua bagian tersebut adalah fungsi objektif (fungsi tujuan) serta fungsi kendala. Fungsi objektif merupakan fungsi dengan nilai yang akan dioptimalkan. Biasanya, fungsi ini memiliki nilai maksimum atau minimum, tergantung pada kasusnya.

Apabila fungsi objektifnya adalah biaya produksi, maka kamu harus mencari nilai minimum. Sebaliknya, jika fungsi objektifnya adalah keberuntungan maka nilai yang dicari adalah maksimum. Bentuk umumnya dapat digambarkan sebagai berikut:

f (x ,y) = px + qy dengan nilai f dan q adalah konstanta

Selain fungsi objektif, ada juga yang dinamakan dengan fungsi kendala. Fungsi ini terdiri dari batasan-batasan yang harus dipenuhi dan terdapat dalam fungsi objektif. Adapun bentuk umumnya berupa pertidaksamaan sebagai berikut:

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ 0 atau x ≥ 0 ; y ≥ 0

Program Linear Dengan Model Matematika

Penerapan program linear sangat banyak dan bisa kamu temukan dalam berbagai bidang kehidupan. Sebagai contoh, dalam matematika dan ekonomi, program linear bisa dilihat penggunaannya sebagai salah satu cara untuk mengoptimasi produksi pada sebuah perusahaan atau pabrik.

Lalu bagaimana dengan model matematika pada program linear tersebut? Penggunaan model matematika ini bisa kamu lihat saat penyelesaian beberapa masalah dalam mengoptimalkan kegiatan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. 

Nah, penyelesaian ini menggunakan program linear dengan kendala atau batasan yang harus diterjemahkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear. Proses penerjemahan ini menggunakan model matematika dengan menggunakan fungsi atau persamaan. Model matematika ini terdiri dari dua bagian yakni:

• Fungsi objektif yakni f(x,y) = px + qy
• Syarat atau batasan berisikan kendala yang harus dipenuhi oleh x dan y

Lebih jelasnya kamu bisa lihat penjabarannya di bawah ini.

Nilai maksimum fungsi objektif

f (x,y) = px + qy

kendalanya adalah:

ax + by ≤ m

cx + dy ≤ n

x ≥ 0 : y ≥ 0

Nilai minimum dari sebuah fungsi objektif

F(x,y) = px + qy

Dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ 0

Contoh Soal Program Linear

1. Seorang pedagang buah rambutan memanen kebunnya. Pedagang tersebut menyewa 30 kendaraan yang berjenis colt dan truk. Total muatan yang dapat diangkut adalah 300 karung. Truk hanya mampu menampung 15 karung sedang colt hanya bisa mengangkut 10 karung. Dari persoalan ini, bagaimana bentuk model matematikanya?

Jawab:

Misalkan truk adalah x, colt adalah y maka dapat digambarkan seperti ini

Pedagang tersebut menyewa 30 kendaraan berjenis truk dan colt maka kita simpulkan fungsi banyak karung yaitu :

fungsi kuantitas = x + y 30 

Lalu, berdasarkan “Total muatan yang dapat diangkut adalah 300 karung. Truk hanya mampu menampung 15 karung sedang colt hanya bisa mengangkut 10 karung” maka dapat dirumuskan menjadi :

fungsi banyak karung = 15x + 10y 300 atau dapat disederhanakan menjadi 3x + 2y 60

Jadi model matematikanya adalah:

F(kuantitas) : x + y 30 

F(banyak karung) : 3x + 2y 60

Dengan syarat x0 dan y0

2. Umar sedang berbelanja ke pasar dan membeli beberapa buah manggis dan pepaya. Paling sedikit jumlah yang dibeli adalah 20 buah. Buah manggis yang dibeli maksimal adalah 12 buah dengan harga per buahnya adalah Rp5,000 dan pepaya adalah Rp2,000. 

Umar mempunyai uang adalah Rp40,000. Jika Umar membeli m manggis dan p pepaya, buatlah model matematikanya.

Jawab: 

Misalkan manggis adalah m dan pepaya adalah p maka

Fungsi pembelian = 5,000m + 2,000p 40,000 disederhanakan menjadi 5x + 2y 40

Fungsi jumlah buah = m + y ≥ 20 

Fungsi maksimal manggis m ≤ 12

Fungsi maksimal pepaya p ≥ 0

Baca juga: Konversi Satuan Panjang Lengkap Dan Cara Menghitungnya

_________________________________________________

Nah, seperti itulah materi program linear beserta contoh soalnya yang perlu kamu tahu. Bagaimana? Ternyata tidak sesulit itu, bukan? 

Supaya lebih paham mengenai program linear dan model matematika, kamu harus sering berlatih dan mengerjakan soal. Pastinya kamu bisa mengerjakan banyak latihan soal di Pijar Belajar, dong! 

Pijar Belajar merupakan aplikasi pembelajaran yang memuat banyak sekali latihan soal serta video pembahasannya yang bisa kamu akses kapanpun dan dimanapun. Yuk, coba kerjakan latihan soal matematika dan mata pelajaran lainnya di Pijar Belajar! 

Selamat belajar dan semoga berhasil!

Download Pijar Belajar sekarang!