Contoh Soal Pertidaksamaan Trigonometri dan Penyelesaiannya

Dalam beberapa olahraga seperti panjat tebing atau panjat dinding, pertidaksamaan trigonometri dapat digunakan untuk menghitung sudut kemiringan atau jarak yang harus ditempuh atlet. Ini membantu atlet dan pelatih untuk merencanakan strategi dan pelatihan yang efektif.

Ingin mengetahui lebih jelas dan lengkap tentang materi pertidaksamaan trigonometri ini? Yuk, kita baca sampai habis artikel kali ini dan temukan keseruan dalam mempelajari materi ini.

Baca juga: Rangkuman Materi Matematika Kelas 11, Lengkap!

Apa Itu Pertidaksamaan Trigonometri?

Pertidaksamaan trigonometri adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri, seperti sinus ($sin$), cosinus ($cos$), atau tangen ($tan$), yang melibatkan variabel sudut atau panjang sisi dalam segitiga. Pertidaksamaan ini muncul ketika kita perlu membandingkan atau mengukur hubungan antara sudut atau panjang sisi dalam suatu konteks tertentu.

Contoh pertidaksamaan trigonometri umum melibatkan perbandingan nilai fungsi trigonometri pada suatu sudut tertentu. Sebagai contoh, kita dapat memiliki pertidaksamaan seperti $sin(x)>0$ yang berarti kita mencari nilai sudut $x$ di mana sinus dari sudut tersebut lebih besar dari nol. Hal ini bisa terkait dengan mencari sudut pada siklus trigonometri yang berada di kuadran tertentu, di mana nilai sinus positif.

Pertidaksamaan trigonometri juga sering muncul dalam penyelesaian masalah geometri, fisika, dan rekayasa. Penggunaannya melibatkan konsep-konsep trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen, serta sifat-sifatnya yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dan panjang sisi segitiga atau bentuk-bentuk lainnya.

Apa Rumus Trigonometri?

Berikut adalah beberapa rumus trigonometri dasar yang melibatkan fungsi-fungsi utama trigonometri, yaitu sinus ($sin$), cosinus ($cos$), dan tangen ($tan$):

Rumus Sinus

$sin\Theta = \frac{sisi depan}{sisi miring}$

Rumus Cosinus

$cos\Theta = \frac{sisi samping}{miring}$

Rumus Tangen

$tan\Theta = \frac{sisi depan}{sisi samping}$

Hubungan Fundamental Trigonometri

$sin^2(\Theta )+ cos^2(\Theta) = 1$

Ini adalah identitas trigonometri Pythagoras yang selalu berlaku untuk setiap sudut pada segitiga siku-siku.

Rumus Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku

Untuk sudut $\theta$ dalam segitiga siku-siku

$tan \Theta = \frac{sin\Theta }{cos\Theta }$

Hubungan Trigonometri Tambahan

$sin (90^o - \Theta) = cos\Theta$

$cos (90^o - \Theta )= sin \Theta$

$tan (90^o - \Theta ) = \frac{1}{tan\Theta }$

Bagaimana Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri?

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri melibatkan pencarian nilai-nilai dari variabel sudut yang memenuhi kondisi tertentu. Beberapa langkah umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi Rentang Sudut

Pertama, identifikasi rentang sudut yang relevan. Jika pertidaksamaan melibatkan fungsi trigonometri, tentukan apakah sudut-sudut tersebut dinyatakan dalam derajat atau radian. Perhatikan batasan sudut sesuai konteks masalah.

2. Gunakan Sifat-sifat Fungsi Trigonometri

Kenali sifat-sifat dasar fungsi trigonometri. Misalnya, untuk sinus dan cosinus, nilai maksimumnya adalah 1, sedangkan nilai minimumnya adalah -1. Untuk tangen, nilai tak terhingga saat sudut mendekati $\frac{\pi }{2}$ atau $\frac{3\pi }{2}$.

​3. Gunakan Identitas Trigonometri

Manfaatkan identitas trigonometri yang mungkin dapat menyederhanakan persamaan. Identitas Pythagoras $sin^2\Theta + cos^2\Theta = 1$ seringkali bermanfaat dalam penyelesaian persamaan.

4. Ubah Bentuk Pertidaksamaan

Lakukan perubahan bentuk pertidaksamaan jika diperlukan. Gunakan aljabar untuk menyederhanakan persamaan atau ubah bentuknya agar lebih mudah dianalisis.

5. Gunakan Tabel Nilai Trigonometri

Jika diperlukan, Anda dapat menggunakan tabel nilai trigonometri standar untuk mencari nilai-nilai khusus fungsi trigonometri yang terkait dengan pertidaksamaan.

6. Gunakan Kalkulator

Gunakan kalkulator dengan fungsi trigonometri untuk menghitung nilai eksak fungsi trigonometri pada sudut-sudut tertentu, terutama jika solusi memerlukan nilai yang presisi.

7. Perhatikan Kebijakan Nilai Absolut

Jika pertidaksamaan melibatkan nilai absolut fungsi trigonometri, ingatlah bahwa nilai-nilai tersebut selalu bernilai positif.

8. Periksa Solusi di Rentang Sudut

Setelah mendapatkan solusi-solusi potensial, periksa apakah solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan aslinya di rentang sudut yang diberikan. Perhatikan pembatasan sudut dalam pertidaksamaan.

Penting untuk dicatat bahwa setiap pertidaksamaan trigonometri mungkin memerlukan pendekatan yang berbeda, dan beberapa pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinasi dari langkah-langkah di atas. Pemahaman yang baik terhadap sifat-sifat fungsi trigonometri serta identitas trigonometri akan mempermudah penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Contoh Soal Pertidaksamaan Trigonometri

Tentukan semua nilai $x$ pada rentang $0^o \leq x \leq 360^o$ yang memenuhi pertidaksamaan berikut : 

$2 cos x + sin x \geq 1$

Diketahui : 

Pertidaksamaan: $2 cos x+sin x >1$

Ditanyakan : 

Tentukan semua nilai $x$ pada rentang $0^o$ hingga $360^o$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

Jawaban :  

1. Sederhanakan pertidaksamaan : 

$2 cos x + sin x-1>0$

2. Temukan nilai-nilai kritis : 

Temukan nilai $x$ di mana $2 cos x +sin x-1=0$ sama dengan nol. Ini terjadi saat fungsi berubah tanda $2 cos x + sin x-1=0$.

3. Cari solusi untuk $2 cos x + sin x-1=0$.

4. Buat interval berdasarkan nilai-nilai kritis: 

Tentukan interval dimana $2 cos x + sin x-1 >0$. Ini terjadi di antara nilai-nilai kritis.

5. Uji coba dalam pertidaksamaan untuk menentukan apakah itu positif atau negatif.

6. Identifikasi solusi akhir : 

Tentukan semua nilai $x$ pada rentang $0^o$ hingga $360^o$ yang memenuhi pertidaksamaan 

$2 cos x +sin x >1$.

Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat menentukan bahwa solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah $x$ pada rentang $0^o \leq x \leq 360^o$ dimana : 

$x \leq 60^o$ atau $x\geq 300^o$.

Baca juga: Trigonometri | Sudut Istimewa, Identitas, dan Perbandingan

______________________________

Nah, Sobat Pijar, kita telah menjelajahi contoh soal pertidaksamaan trigonometri dan langkah-langkah penyelesaiannya. Semoga penjelasan ini memberikan pemahaman yang lebih baik tentang cara menghadapi pertidaksamaan trigonometri, ya. Tetap semangat belajar!

Jika ingin belajar lebih lanjut mengenai materi Trigonometri atau mata pelajaran lainnya, kamu bisa belajar di mana aja dan kapan aja di Pijar Belajar, nih! Eits, tentunya mata pelajaran yang bisa kamu akses ada banyak, mulai dari Matematika, Fisika, Kimia, Biologi, hingga Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris. 

Tunggu apa lagi? Yuk, unduh Pijar Belajar sekarang juga!