Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Lengkap dengan Pengertian, Sifat, dan Penerapannya

Sebelumnya, Sobat Pijar pasti sudah mengenal yang namanya konsep nilai mutlak. Ternyata, ada juga yang disebut dengan pertidaksamaan nilai mutlak, lho. 

Sesuai namanya, pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebuah rumus pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak dalam perhitungannya. Supaya lebih jelas, kamu bisa menyimak penjelasan dan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dalam tulisan ini.

Baca juga: Program Linear, Pengertian Model Matematika, dan Contoh Soalnya

Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam matematika, nilai mutlak ditulis dengan tanda garis vertikal di sebelah kanan dan kiri suatu bilangan, seperti $|x|$ . Definisi pertidaksamaan nilai mutlak juga dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari titik nol pada garis bilangan. Sehingga, nilai mutlak |x| selalu bernilai positif.

Sesuai dengan namanya, pertidaksamaan nilai mutlak satu variabel adalah formula yang digunakan untuk mengetahui nilai pertidaksamaan pada nilai mutlak yang memiliki satu variabel. Ada empat bentuk format pertidaksamaan yang bisa digunakan dalam pertidaksamaan nilai mutlak. Yaitu $|x| < a$ , $|x| > a$ , $|x| ≤ a$ , atau $|x| ≥ a$ . Dimana $x$ merupakan variabel yang tidak diketahui dan a adalah bilangan positif.

Agar lebih jelas, kita akan menggunakan salah satu format sebagai pertidaksamaan nilai mutlak, yaitu bentuk $|x| < a$ .

Untuk mengetahui nilai $x$ dalam pertidaksamaan tersebut, kamu perlu mencari semua nilai x yang membuat jarak x ke titik nol lebih kecil dari a. Sehingga, solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut dapat dituliskan sebagai $–a < x < a$ . Sehingga diketahui kalau $x < -a$ atau $x> a$ .

Cara yang sama juga bisa kamu gunakan untuk bentuk format pertidaksamaan nilai mutlak lainnya. Termasuk format $|x| ≤ a$ dan $|x| ≥ a$.

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Jika mengikuti pengertian pertidaksamaan nilai mutlak di atas, kamu akan menemukan kalau ada beberapa sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel. Untuk setiap a, b, dan x bilangan real, maka berlaku 4 sifat pertidaksamaan berikut ini:

1. Jika $a < 0$ dan $|x| ≤ a$ , maka $–a ≤ x ≤ a$

Sifat ini menyatakan bahwa kalau kamu memiliki sebuah bilangan positif a dan variabel x yang memenuhi nilai mutlak $|x| ≤ a$ , maka nilai $x$ selalu berada di antara $–a$ dan $a$ . Sehingga, solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut dapat dituliskan sebagai $-a ≤ x ≤ a$ .

Contohnya, kalau $a=3$ dan $|x| ≤ 3$ , maka x bisa bernilai dari $–3$ sampai $3$ . Artinya, rentang bilangan yang berjarak maksimal 3 satuan dari titik nol pada garis bilangan masih berada dalam rentang nilai ini. 

2. Jika $a < 0$ dan $|x| ≤ a$ , maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan

Pertidaksamaan nilai mutlak hanya bisa dipecahkan jika a bernilai positif. Sedangkan jika $a < 0$ , artinya a memiliki nilai kurang dari 0 atau negatif. Sehingga tidak ada solusi real untuk $x$ dalam pertidaksamaan tersebut. Dalam kata lain, bisa dibilang kalau interval solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah kosong. 

Jadi, kalau kamu menemukan sebuah pertidaksamaan nilai mutlak seperti $|x| ≤ a$ dengan nilai $a < 0$ , maka kamu bisa langsung menyimpulkan kalau pertidaksamaan nilai mutlak tersebut tidak memiliki solusi real.

3. Jika $|x| ≥ a$ dan $a > 0$ , maka $x ≥ a$ atau $x ≤ -a$

Sifat pertidaksamaan ketiga ini menyatakan bahwa jika kamu memiliki sebuah bilangan positif a dan sebuah variabel $x$ yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak $|x| ≥ a$ , maka solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut adalah $x ≥ a$ atau $x ≤ -a$.

Sifat ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak yang lebih kompleks. Jadi, kalau kamu menemukan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak seperti $|x| ≥ a$, kamu bisa langsung menyelesaikan soal tersebut dengan solusi $x ≥ a$ atau $x ≤ -a$ sesuai dengan sifat ini.

4. $|a + b| ≤ |a| + |b|$

Sifat ini menyatakan bahwa untuk setiap bilangan real a dan b, nilai $|a + b|$ tidak lebih besar dari jumlah nilai mutlak dari a dan b. Sifat ini juga menunjukkan bahwa nilai mutlak dari penjumlahan dua bilangan real selalu lebih kecil atau sama dengan penjumlahan nilai mutlak masing-masing bilangan tersebut.

Pertidaksamaan nilai mutlak untuk sifat ini misalnya, jika $a = -3$ dan $b = 4$ , maka $|a + b|$ sama dengan $|-3 + 4|$ yang hasilnya 1. Sedangkan $|a| + |b|$ adalah $|(-3)| + |4|$ yang bernilai 7. Karena $1 ≤ 7$ , maka sifat ini terpenuhi.

5. $|a - b| ≥ |a| - |b|$

Sifat pertidaksamaan kelima ini sekilas mirip dengan sifat keempat. Dalam sifat ini, dinyatakan bahwa untuk setiap bilangan real a dan b, selisih nilai mutlak antara a dan b tidak kurang dari selisih nilai mutlak dari a dan b.

Agar lebih paham, kamu bisa mencermati pertidaksamaan nilai mutlak untuk sifat ini. Misalnya, jika $a = -3$ dan $b = 4$ , maka $|a – b| = |(-3) - 4| = 7$ . Sedangkan $|a| - |b| = |(-3)| - |4| = 1$ . Karena $7 ≥ 1$ , maka sifat ini terpenuhi.

Penerapan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari, sangat mungkin kamu menemukan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak. Ada banyak contoh penerapan pertidaksamaan ini yang bisa kamu temukan dalam berbagai aktivitas atau kegiatan. Beberapa penerapan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut:

1. Menghitung Jarak Antara 2 Titik 

Misalnya, dalam sebuah contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak kamu ingin mengetahui jarak antara titik A dan B pada garis bilangan. Kamu bisa menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak |B – A|. Dengan menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak, kamu bisa mendapatkan jarak absolut antara kedua titik dengan mengabaikan arah yang diambil.

2. Menentukan Batasan Suatu Variabel

Selanjutnya, contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak juga bisa ditemukan saat kamu ingin menentukan batasan atas atau bawah dari suatu variabel. Misalnya, kamu ingin membatasi suhu ruangan agar tidak lebih dari 25 derajat Celsius. Maka, kamu bisa menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak dengan formula |suhu – 25| < a.

3. Sebagai Kriteria Seleksi

Pertidaksamaan nilai mutlak juga dapat digunakan sebagai kriteria seleksi. Contohnya saat kamu ingin memilih nilai atau objek yang memenuhi kondisi tertentu. Sebagai gambaran, kamu bisa menggunakan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak ini:

Misalnya, dalam suatu contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak, kamu ingin memilih angka-angka yang jaraknya kurang dari 5 dari nilai 10. Maka, kamu dapat mendefinisikan kondisi ini dalam bentuk pertidaksamaan nilai mutlak. Sehingga, pertidaksamaannya akan tertulis sebagai |x – 10| < 5.

Pertidaksamaan nilai mutlak ini menunjukkan bahwa hanya angka-angka yang berada dalam jarak 5 satuan dari nilai 10 saja yang akan dipilih.

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Agar lebih memahami sifat dan penerapan pertidaksamaan nilai mutlak, kamu bisa menyimak beberapa contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dan pembahasannya berikut ini:

Contoh Soal 1

Saat melihat angka kilometer per liter pada mobil baru, kamu bisa mengetahui bagaimana mobil tersebut sering digunakan. Kamu juga bisa mengetahui apakah mobil tersebut sering digunakan untuk perjalanan jauh antar kota tahu hanya digunakan untuk perjalanan dekat dalam kota.

Pada suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya ada di kisaran angka 2,8 kurang lebih 12 Km/L. Dari informasi ini, carilah jangkauan dari angka Km/L pada mobil tersebut!

Pembahasan:

Untuk menjawab contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak di atas, kamu bisa menggunakan alternatif cara sebagai berikut:

Misalnya, angka $km/L$ pada mobil tersebut diwakilkan dengan m. Maka, selisih nilai m dan 12 tidak boleh lebih dari 2,8. Dengan begitu, diketahui rumusnya menjadi $|m – 12| ≤ 2,8$ . 

Kemudian, kamu bisa menggunakan salah satu sifat pertidaksamaan dalam contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak ini. Yaitu jika $a ≥ 0$ dan $|x| ≤ a$ , maka $–a ≤ x ≤ a$ . Sehingga, $|m – 12| ≤ 2,8 <=> -2,8 ≤ m – 12 ≤ 2,8$

$-2,8 + 12 ≤ m ≤ 2,8 + 12$

$9,2 ≤ m ≤ 14,8$

Jadi, jangkauan dari angka km/L mobil tersebut berada dalam rentang angka $9,2 Km/L$ hingga $14,8 Km/L$. Dalam kehidupan sehari-hari, contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak ini bisa menjadi pertimbangan untuk membeli sebuah mobil.

Contoh Soal 2

Dalam sebuah tempat pemancingan ikan di teluk kota, pemerintah setempat menetapkan peraturan untuk menjaga kelestarian di sekitar teluk. Salah satunya adalah anjuran mengenai kedalaman optimal (d) untuk menangkap ikan jenis tertentu. Jangkauan yang dianjurkan tersebut harus memenuhi pertidaksamaan $8 |d – 150| - 432 < 0$ (dalam meter). Tentukan jangkauan kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap jenis ikan tersebut!

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak ini, kamu dapat menggunakan alternatif penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini:

Diketahui pertidaksamaan $8 |d – 150| - 432 < 0$ dengan d adalah kedalaman optimal dalam meter. Sehingga,

$8 |d – 150| - 432 < 0$

$8 |d –150| < 432$

Kemudian, kalikan masing-masing ruas dengan $1/8$ . Sehingga,

$|d – 150| < 54$

$-54 < d – 150 < 54$

$96 < d < 204$

Dengan begitu, kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap ikan jenis tersebut berada di rentang 96 meter hingga 204 meter.

Wah, jadi semakin tergambar, ya, seperti apa soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak itu. Sekarang, coba kerjakan berbagai latihan soal lainnya, yuk! Klik banner di bawah ini untuk mulai mengakses ribuan latihan soal tentang pertidaksamaan nilai mutlak lainnya.

Baca juga: Materi Fungsi Kelas 10 | Mengenal Pengertian & Jenis Fungsi Matematika

_______________________________________

Gimana, udah paham mengenai materi Pertidaksamaan Nilai Mutlak ini, Sobat Pijar? Kalau kamu masih penasaran dan ingin menguji kemampuanmu, yuk belajar di Pijar Belajar sekarang juga! Kamu bisa mengakses ratusan bahkan ribuan soal matematika untuk mengasah penguasaan materimu, lho!

Tunggu apa lagi? Yuk, gunakan Pijar Belajar sekarang!