Pertidaksamaan dalam Matematika: Linear, Kuadrat, Pecahan, dan Akar

Tahukah Sobat Pijar bahwa matematika juga mengenal istilah pertidaksamaan? Dalam kalimat matematika, istilah pertidaksamaan ini dituliskan dengan menggunakan notasi lebih kecil dari (<), lebih besar dari (>), lebih kecil dari atau sama dengan (≤), dan lebih besar dari atau sama dengan (≥).

Melalui artikel ini, kamu akan mempelajari lebih jauh tentang pertidaksamaan dalam matematika. Khususnya tentang pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, dan pertidaksamaan akar.

Nah, agar lebih jelas lagi mengenai materi pertidaksamaan ini, kamu bisa menyimak tulisan ini sampai akhir.

Baca juga: Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Lengkap dengan Pengertian, Sifat, dan Penerapannya

Pengertian Pertidaksamaan

Secara umum, pertidaksamaan matematika adalah suatu pernyataan dalam istilah matematika yang digunakan untuk menunjukkan kalau dua ekspresi atau nilai tidak memiliki besaran yang sama. Karena itu, penulisan pertidaksamaan tidak menggunakan simbol sama dengan (=). 

Sebagai gantinya, ada empat simbol pertidaksamaan matematika yang biasa digunakan. Yaitu lebih kecil dari (<), lebih besar dari (>), lebih kecil dari atau sama dengan (≤), dan lebih besar dari atau sama dengan (≥).

Biasanya, pertidaksamaan digunakan untuk menunjukkan batasan atau rentang nilai tertentu atau suatu variabel. Karena itu, penerapan konsep pertidaksamaan dapat ditemukan secara luas dalam kehidupan sehari-hari.

Sifat Sifat Pertidaksamaan

Saat kamu memahami materi pertidaksamaan dengan baik, kamu akan mengetahui dan menghafal sifat-sifat pertidaksamaan dengan sendirinya. Namun, tidak ada salahnya juga untuk mengetahui sifat-sifat pertidaksamaan matematika terlebih dahulu. Jadi, kamu bisa menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan dengan lebih mudah.

1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah kalau setiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan nyata yang sama.

$a>b$

 dapat diubah menjadi $a+c>b+c$

2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah kalau setiap ruas dibagi atau dikalikan dengan bilangan positif yang sama.

Jika $a>b$  dan diketahui $k>0$ (bilangan positif), maka hasilnya:

 $a.k>b.k$  (dikalikan dengan k di setiap ruas)

$\frac{a}{k} > \frac{b}{k}$ (dibagi dengan k di setiap ruas)

3. Tanda pertidaksamaan akan berubah kalau setiap ruas dibagi atau dikalikan dengan bilangan negatif yang sama.

Jika $a>b$ dan diketahui $k<0$ (bilangan negatif), maka hasilnya:

$a.k<b.k$ (dikalikan dengan k di setiap ruas)

$\frac{a}{k} < \frac{b}{k}$ (dibagi dengan k di setiap ruas)

Perhatikan bahwa simbol “>” berubah menjadi “<” setelah dikalikan dengan k bilangan negatif.

4. Apabila $a>b$ dan $a, b, n$ adalah positif, maka $a^n > b^n$ , tetapi $a^{-n} < b^{-n}$

Sebagai contoh, jika $5 > 3$ dipangkatkan dengan 3, maka hasilnya:

$5^3$ > $3^3$ atau $125>27$ 

$5^{-3} < 3^{-3}$ atau $\frac{1}{125} < \frac{1}{27}$ $1125<127$

5. Apabila $a<b$ dan $a, b$ adalah negatif, $n$ adalah positif genap, maka $a^n>b^n$

Sebagai contoh, jika $(-5) < (-3)$ dipangkatkan dengan $2$ , maka hasilnya adalah $(-5)^2 > (-3)^2$ atau $25>9$ 

6. Apabila $a<b$ dan $a, b$ adalah negatif, n adalah positif ganjil, maka $a^n<b^n$

Sebagai contoh, jika $(-5) < (-4)$ dipangkatkan dengan $3$ , maka hasilnya adalah $(-5)^3 < (-4)^3$ atau $-125<-27$

7. Apabila $a>b$  dan $c>d$ , maka $(a+c) > (b+d)$

Sebagai contoh, jika $(-4) > (-10)$ dan $5>3$ maka hasilnya adalah $(-4+5) > (-10+3)$ atau $1>-7$

8. Apabila $a>b>0$  dan $c>d>0$ , maka $ac>bd$ 

Sebagai contoh, jika $5>4>0$ dan $3>2>0$ maka hasilnya adalah $(5)(3) > (4)(2)$ atau $15>8$ 

9. Penggabungan dua pertidaksamaan

Dua buah pertidaksamaan dapat digabungkan dengan kata “dan” atau “atau”. Untuk lebih jelas mengenai penggabungan ini, kamu bisa melihat contoh berikut:

• Penggunaan “dan” berarti pertidaksamaan I dan II harus beririsan sehingga memenuhi keduanya. Contoh: $x<5$ dan $x≥3$. Maka bentuk garis bilangan himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah sebagai berikut:

• Penggunaan “atau” berarti gabungan dari pertidaksamaan I dan II atau salah satunya terpenuhi. Contoh $x<5$ atau $x>7$ . Maka bentuk pertidaksamaannya adalah sebagai berikut:

Penyelesaian Pertidaksamaan

Dalam matematika, ada banyak bentuk pertidaksamaan yang akan kamu temukan. Termasuk diantaranya pertidaksamaan linear, kuadrat, pecahan, dan akar. Setiap bentuk pertidaksamaan memiliki cara penyelesaiannya masing-masing. 

Karena itu, kamu perlu mengenal bentuk-bentuk pertidaksamaan terlebih dulu agar bisa menyelesaikan soal pertidaksamaan. Selain itu, kamu juga bisa menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan untuk menjawab soal-soal pertidaksamaan.

Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Ada banyak bentuk dari pertidaksamaan dalam matematika. Saat ini, kita akan mulai mempelajari dari 4 pertidaksamaan yang paling umum. Yaitu pertidaksamaan linear, kuadrat, pecahan, dan akar.

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah jenis pertidaksamaan yang kedua sisinya memiliki fungsi linear dari variabel yang sama. Fungsi linear sendiri dapat dituliskan dalam rumus pertidaksamaan y>mx+b 

Di mana m dan b adalah konstanta, x adalah variabel, dan simbol > dapat diganti dengan simbol pertidaksamaan lain seperti <, ≤, atau ≥. Contoh sederhana dari pertidaksamaan linear adalah . Dalam pertidaksamaan tersebut, $2x+5$ merupakan fungsi linear dari x.

Pertidaksamaan Kuadrat

Ciri utama pertidaksamaan kuadrat adalah salah satu variabel harus memiliki pangkat dua. Sehingga, bentuk umum dari pertidaksamaan ini adalah $ax^2+bx+x<0$ atau $ax^2+bx+x>0$. Di mana a, b, dan c adalah konstanta dan x adalah variabel.

Contoh sederhana dari pertidaksamaan kuadrat adalah $x2-4>0$ . Dalam pertidaksamaan tersebut, variabel x memiliki pangkat 2 dengan –4 sebagai konstanta. Penyelesaian pertidaksamaan ini dapat dilakukan dengan teknik faktorisasi.

Dengan menggunakan contoh$x^2-4>0,$ bentuk persamaannya menjadi $x+2x-2>0$. Sehingga ditemukan $x<-2$ atau $x>2$ .

Pertidaksamaan kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang lebih rumit. Termasuk untuk menyelesaikan fungsi kuadrat, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritma. Jika digambarkan dalam bentuk grafik, pertidaksamaan kuadrat akan membentuk grafik parabola. Sehingga, kamu juga bisa menggunakan grafik untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini.

Pertidaksamaan Pecahan

Sesuai namanya, syarat pertidaksamaan pecahan adalah memiliki setidaknya satu pecahan. Sehingga, bentuk umum dari pertidaksamaan ini adalah $\frac{P(x)}{Q(x)} < R$ atau $\frac{P(x)}{Q(x)} > R$. Di mana $P(x)$ dan $Q(x)$ disebut sebagai fungsi polinomial, dan $R$ adalah konstanta.

Contoh soal dan pembahasan pertidaksamaan pecahan yang sederhana adalah $\frac{(x+1)}{(x-2)} > 0$. Dengan $\frac{(x+1)}{(x-2)}$, sebagai pecahan dan 0 sebagai konstanta. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, kamu bisa menggunakan teknik pembagian bilangan bulat atau teknik lain yang sesuai.

Dengan menggunakan contoh di atas, kamu juga bisa menyelesaikannya dengan membuat tabel tanda yang menunjukkan interval pecahan. Sehingga, ditemukan kalau tanda pecahan tersebut berada pada rentang (-∞, -1), (-1, 2), dan (2, ∞). Selanjutnya, kamu bisa menentukan interval nilai x yang membuat pecahan bernilai positif, yaitu (2, ∞) dan (-∞, -1).

Penerapan pertidaksamaan pecahan umum digunakan dalam fungsi pecahan seperti fungsi rasional dan fungsi trigonometri. Namun, perlu diperhatikan agar penyebut pecahan tidak bernilai nol yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi tidak terdefinisi.

Pertidaksamaan Akar

pertidaksamaan akar juga sering disebut sebagai pertidaksamaan irasional. Ciri utama dari pertidaksamaan ini adalah keberadaan bentuk akar di dalamnya. Contoh sederhana dari pertidaksamaan akar adalah $\sqrt{x} < a$. Untuk menyelesaikan bentuk pertidaksamaan seperti ini, kamu bisa mengkuadratkan kedua sisi. Sehingga diperoleh $x<a$. 

Contoh Soal Pertidaksamaan

Agar lebih paham mengenai materi pertidaksamaan ini, kamu bisa menyimak contoh soal dan pembahasan berikut ini:

Contoh Soal 1

Tentukan penyelesaian dari contoh soal pertidaksamaan pecahan berikut ini: 

$\frac{x-3}{x+2}\geq \frac{x+4}{x-1}$

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu boleh memindahkan pertidaksamaan pecahan menjadi satu ruas seerti berikut ini

= $\frac{x-3}{x+2}\geq \frac{x+4}{x-1} \rightarrow \frac{x-3}{x+2}- \frac{x+4}{x-1} \geq 0$

= $\frac{(x-3)(x-1)-(x+4)(x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0$

= $\frac{(x^2-4x+3)-(x^2+6x+8)}{(x+2)(x-1)} \geq 0$

= $\frac{-(10x+5)}{(x+2)(x-1)} \geq 0$

= $\frac{(10x+5)}{(x+2)(x-1)} \leq 0$

Sehingga didapatkan akar-akarnya adalah: $x_{1} = -2, x_{2} = -0,5, x_{3} = 1$

Dan garis bilangan dari $_{}\frac{(10x+5)}{(x+2)(x-1)} \leq 0$ adalah:

Sehingga, penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah: $-0,5<x<1$ atau $x<-2$ 

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut ini:

$_{}\frac{\sqrt{x^2} -x +2}{\sqrt{x}+5} > 1$

Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini, kamu dapat menghilangkan akar dengan mengkuadratkannya agar memudahkan kamu dalam mengoperasikannya.

Kuadratkan masing-masing ruas kanan dan ruas kiri.

= $_{}\frac{\sqrt{x^2} -x +2}{\sqrt{x}+5} > 1$

= $(\sqrt{\frac{x^2-x+2}{x+5}})^{2} > 1^2$

= $\frac{x^2-x+2}{x+5} > 1$

= $x^2-x+2>x+5$

= $x^2-2x-3>0$

= $(x-3)(x+1)>0$

Sehingga didapatkan akar-akarnya adalah: $x_{1} = -1$ dan $x_{2} = 3$ $x^2=3$

Dengan syarat yang harus dipenuhi adalah: $x+5>0\rightarrow x_{3}=-5$ dan $x^2-x+2\geq 0\rightarrow x_{4}=tidak ada$ karena diskriminan $<0$

.

Maka bentuk garis bilangannya adalah:

Sehingga, penyelesaian dari pertidaksamaan adalah:

$-5<x<-1$ atau $x>3$

Baca juga: Fungsi Kuadrat: Definisi, Rumus, dan Grafik

_________________________________

Wah, banyak ya pertidaksamaan dalam matematika, Sobat Pijar? Tertarik untuk belajar lebih lanjut? Tenang, kamu bisa banget belajar di mana aja dan kapan aja dengan aplikasi Pijar Belajar! Ada ratusan latihan soal yang bisa kamu kerjakan untuk mengasah kemampuanmu di materi ini, lho!

Coba aplikasi Pijar Belajar sekarang juga!