Persamaan Trigonometri | Rumus dan Contoh Soal

Hi, Sobat Pijar! Kali ini, Pijar Belajar mau ajak kamu untuk membahas materi rumus persamaan trigonometri. Kira-kira adakah Sobat Pijar yang sudah familiar atau paham dengan materi persamaan trigonometri ini? 

Kalau kamu belum paham, tak perlu berkecil hati karena kita akan belajar bersama-sama! Mulai dari materi dasar hingga rumus dan penerapannya bakal Pijar Belajar bahas dalam artikel ini. Jadi, simak terus, ya! 

Baca juga: Trigonometri | Sudut Istimewa, Identitas, dan Perbandingan

Pengertian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat diartikan sebagai persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui jumlah nilainya. 

Rumus Persamaan Trigonometri

Rumus persamaan trigonometri terbagi menjadi tiga, yaitu rumus sinus, cosinus, dan tangen. Kita bahas lebih lanjut, yuk. 

sin x = sin α, maka x = α + k. 360° atau x = (180° – α) + k. 360°

sin x yang positif ada di kuadran I dan II, sehingga sudutnya bernilai α atau (180° – α) 

Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari sin, dimana satu periodenya 360°. 

cos x = cos α, maka x = α + k. 360° atau x = ( – α ) + k. 360°

cos x yang positif ada di kuadran I dan IV, sehingga sudutnya bernilai α atau (360° – α) atau (– α).

Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari cos, dimana satu periodenya 360°. 

tan x = tan α, maka x = α + k. 180° 

tan x yang positif ada di kuadran I dan III, sehingga sudutnya bernilai α yang ada di kuadran I saja .

Sedangkan itu, di kuadran III tidak digunakan karena satu periode untuk tan 180°, sampai kuadran II. Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari tan, dimana satu periodenya 180°. 

Manfaat Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Trigonometri ternyata memiliki banyak manfaat untuk kehidupan kita, lho, bahkan penerapan ilmu trigonometri sudah berlangsung sejak abad ke-3 SM. Pada saat itu, ilmu trigonometri digunakan dalam perhitungan astronom untuk menghitung jarak bumi dengan bulan. Keren banget, ya.

Selain itu, ternyata trigonometri juga bisa diterapkan pada bidang geografi. Trigonometri sering digunakan untuk menghitung jari-jari Bumi dan jarak antara dua tempat di Bumi tanpa harus keliling menjelajahi Bumi. Sangat praktis, bukan?

Dalam contoh yang lebih dekat dengan kita, perhitungan trigonometri juga bisa digunakan untuk mengukur tinggi pohon tanpa memanjatnya hanya dengan mengukur bayangannya. 

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri

Supaya pemahamanmu tentang persamaan trigonometri semakin terasah, coba kerjaan contoh soal persamaan trigonometri berikut ini, yuk! 

.

Contoh Soal 1

Berapa banyak x yang memenuhi persamaan berikut?

2sin² (2x) – 7 sin 2x + 3 = 0 pada interval -𝜋 ≤ x ≤ 𝜋

Jawab:

2 sin² 2x – 7 sin 2x + 3 = 0

Jika sin 2x = p, maka bisa dibuat menjadi persamaan kuadrat seperti berikut ini. 

2p² – 7p + 3 = 0

(2p – 1)(p – 3) = 0

p = ½ atau p = 1

Fungsi sin tidak mungkin lebih dari 1, maka pilih p = ½ 

Coba cari nilai sin 2x = ½

sin 2x = ½ = sin 30º

sin x = sin 𝛼

x = 𝛼 + k.360°

x = (180 – 𝛼) + k.360°

sin 2x = sin 30º

2x = 30º + k.360°

x = 15º + k.180°

x = {-165, 15, 195, …}

2x = 150º + 360k

x = 75º + 180k

x = {-105, 75, 255, …}

Pada soal, interval dibatasi untuk -𝜋 ≤ x ≤ 𝜋.

Jadi, x = {-165, -105, 15, 75}.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin x = sin 70° , 0° ≤ x ≤ 360° 

sin x = sin 70° , 0° ≤ x ≤ 360°

α = 70°

x = α + k.360°

Untuk k = 0 maka x = 70° + 0 .360° = 70°

untuk k = 1 maka x = 70°+1.360° = 430° (Tidak memenuhi interval)

x = (180°− α) + k.360°

Untuk k = 0 maka x= (180° − 70°) + 0.360° = 110° 

Untuk k = 1 maka x = (180° − 70°) + 1.360° = 470° (Tidak memenuhi interval)

Jadi HP = {70°, 110°}

Contoh Soal 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3xº = 1,untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah....

A. {0°, 20°, 60°}

B. {0°, 20°, 100°}

C. {20°, 60°, 100°}

D. {20°, 100°, 140°}

E. {100°, 140°, 180°}

Pembahasan:

2 cos 3xº = 1

⇒ cos 3xº = ½

⇒ cos 3xº = cos 60°

Maka:

3x₁ = 60°+ k.360°

⇒ x₁ = 20°+ k.120°

⇒ x₁ = {20,140}

3x₂ = -60° + k.360°

⇒ x₂ = -20° + k.120°

⇒ x₂ = {100°}

Jadi, diperoleh himpunan penyelesaian HP {20°, 100°, 140°}.

Jawaban: D.

Cari tahu latihan soal lainnya dengan klik banner di bawah ini, yuk! Selain itu, kamu juga bisa mengakses rangkuman dan video materi juga, lho.

Baca juga: Fungsi Trigonometri | Pengertian, Rumus, Grafik, & Contoh Soalnya

___________________________________________________________

Baiklah, sekian materi tentang persamaan trigonometrinya, semoga mau bisa memahami materi ini dengan baik ya. Apakah Sobat Pijar sudah berhasil memahami persamaan Trigonometri? Kalau sudah, coba uji pemahamanmu dengan mengerjakan latihan soal di Pijar Belajar, yuk!

Nggak cuma materi trigonometri saja, Pijar Belajar juga punya segudang latihan soal untuk mata pelajaran lainnya, lho, mulai dari mata pelajaran SD, SMP, hingga SMA. Pastinya semua latihan soal itu dilengkapi dengan video pembahasannya untuk membantumu memahami materi secara lebih dalam.

Wah, belajar jadi mudah sekali, ya! Yuk, download Pijar Belajar sekarang!