Persamaan Lingkaran - Pengertian, Persamaan, Kedudukan, dan Contoh Soalnya

Sobat Pijar pasti pernah memperhatikan sebuah roda sepeda yang berbentuk lingkaran. Ketika ingin mengukur lingkaran di sekitar roda maka kamu pasti memerlukan sebuah tali. Nah, ketika mengukur tali yang melingkar di sekitar roda, maka persamaan lingkaran akan digunakan nih untuk menghitung panjangnya tali.

Gimana, penasaran dengan materi persamaan lingkaran ini? Yuk baca artikelnya hingga selesai!

Baca juga: Induksi Matematika: Definisi, Prinsip, Pembuktian, dan Contoh Soalnya

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat letak titik-titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu. Titik ini disebut sebagai pusat lingkaran. Jarak antara pusat lingkaran ke titik mana pun di sepanjang lingkaran disebut sebagai jari-jari. 

Pas SMP, Sobat Pijar mungkin mempelajari konsep lingkaran yang mencakup luas, keliling, panjang tali busur, luas juring, dan perhitungan panjang garis singgung lingkaran telah diajarkan. Sekarang, kita akan menggali lebih dalam konsep lingkaran secara analitik, termasuk persamaan lingkaran, posisi titik dan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, dan berkas lingkaran. Gimana, tambah penasaran, ‘kan? Lanjut membaca, yuk!

Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Lihatlah gambar di atas ini. Lingkaran L punya pusat di O ($0,0$) dan jari-jari sepanjang $r$. Ambil titik P ($x,y$) sebagai titik acak di lingkaran L. Panjang jari-jari $OP=r$. Segitiga $POQ$ itu siku-siku di Q, dan berdasarkan Teorema Pythagoras, kita dapatkan rumus : $OQ^2+PQ^2$ atau $x^2 + y^2=r^2$ karena titik P ($x,y$) bisa diambil sembarang, persamaan ini berlaku umum untuk semua lingkaran yang pusatnya di O ($0, 0$ ) dan jari-jarinya sepanjang $r$.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O ($0,0$) dan memiliki jari-jari $r$ adalah $x^2+y^2=r^2$.

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M (a, b) dan Berjari-jari r

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Lihat gambar di atas. Lingkaran L punya pusat di M ($a,b$) dan jari-jari sepanjang $r$. Ambil titik P $x,y$ di lingkaran L. Panjang jari-jari $MP=r$, $MQ=x-a$ dan $PQ=y-b$. Segitiga PMQ itu siku-siku di Q. Berdasarkan Teorema Pythagoras, kita dapatkan rumus : 

$MQ^2+PQ^2=MP^2$ atau $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Karena titik P ($x,y$) diambil sembarang, rumus ini berlaku umum untuk semua lingkaran yang pusatnya di M ($a,b$) dan jari-jarinya sepanjang $r$. Rumus ini disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M ($a,b$) dan memiliki jari jari $r$ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran.

3. Persamaan Umum Lingkaran

Dari rumus baku persamaan lingkaran, kita bisa mengidentifikasi bentuk umum persamaan lingkaran berikut.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Leftrightarrow x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+(-2a)x+(-2b)y+(a^2+b^2-r^2)=0$

Misalkan : $A = -2a \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}A$

$B = -2b \Leftrightarrow b = -\frac{1}{2}B$

$C = a^2 + b^2 - r^2 \Leftrightarrow r^2 = a^2 + b^2 - c$

$\Leftrightarrow r^2 = (-\frac{1}{2}A)^2 + (-\frac{1}{2}B)^2 - C$

$\Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2 -C}$

Diperoleh persamaan umum lingkaran : $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Dengan pusat $(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

4. Persamaan Lingkaran yang Memenuhi Kriteria Tertentu

Untuk mencari persamaan suatu lingkaran, dapat dilakukan dengan dua metode sebagai berikut:

Identifikasi pusat dan jari-jarinya, lalu substitusikan ke dalam rumus atau persamaan $(x-a)^2+(y-b)^2= r^2$

Tentukan nilai A, B, dan C, kemudian substitusikan ke dalam rumus atau persamaan $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Kedudukan Dua Lingkaran

1. Dua Lingkaran Berpotongan

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Amati gambar diatas! Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ saling bersilangan di dua titik, yaitu D dan E. Bagian garis DE disebut sebagai tali busur sekutu.

Perhatikan segitiga $DP_1P_2$. Dalam ketidaksetaraan segitiga, diketahui bahwa jumlah dua sisi segitiga selalu lebih besar daripada sisi ketiganya. Berdasarkan prinsip ini, dua lingkaran saling bersilangan jika panjang $P_1P_2<r_1+r_2$.

2. Dua Lingkaran Bersinggungan

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Terdapat dua opsi untuk dua lingkaran yang bersinggungan, yaitu bersinggungan luar atau bersinggungan dalam. Pada ilustrasi di sebelah, terlihat dua lingkaran yang bersinggungan luar. Keadaan ini terjadi ketika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah dari kedua jari-jari lingkaran tersebut.

Bersinggungan Luar : $P_1P_2=r_1+r_2$

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Pada gambar diatas, terlihat dua lingkaran yang bersinggungan dalam. Keadaan ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan selisih dari kedua jari-jari lingkaran tersebut.

Bersinggungan Dalam : $P_1P_2=r_1-r_2$

3. Dua lingkaran tidak berpotongan atau bersinggungan

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Pada gambar diatas, terlihat dua lingkaran yang tidak bersinggungan atau berpotongan. Keadaan ini dapat terjadi apabila jarak antara kedua pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah dari kedua jari-jari lingkaran tersebut.

Tidak Berpotongan : $P_1P_2>r_1+r_2$

4. Dua lingkaran berpotongan tegak lurus (Orthogonal)

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Dua lingkaran disebut berpotongan orthogonal (tegak lurus) jika garis singgung yang melewati titik potong keduanya membentuk sudut 90 derajat, sebagaimana terlihat pada gambar di sebelah. Kedua lingkaran dikatakan berpotongan tegak lurus apabila memenuhi kondisi bahwa kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran ($P_1^2P_2^2$) sama dengan jumlah kuadrat dari jari-jarinya ($r^2_1 +r^2_2$).

Dua Lingkaran Orthogonal: $(P_1P_2)^2 = r^2_1 + r^2_2$

5. Lingkaran $L_2$ memotong dan membagi dua sama besar lingkaran $L_1$ 

Sumber: Penilaian SMA Kemdikbud

Gambar diatas menunjukkan bahwa lingkaran L2 membagi lingkaran L1 menjadi dua bagian yang sama besar. Situasi ini terjadi ketika syarat kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran $P_1^2P^2_2$ sama dengan selisih kuadrat jari-jarinya $r^2_2 - r^2_1$ terpenuhi.

Lingkaran $L_2$ memotong dan membagi dua sama besar lingkaran $L_1 : (P_1P_2)^2= r^2_2-r_1^2$

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

1. Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari $r$. Tentukan persamaan lingkaran jika pusatnya adalah ($2, -3$) dan jari-jarinya adalah $5$.

Jawaban:

Persamaan lingkaran dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

Dengan substitusi nilai pusat (h, k) dan jari-jari (r) yang diberikan, kita dapat menyusun persamaan lingkaran:

$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x-2)^2+(y-3)^2=25$

2. Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat pada titik ($3,4$) dan jari-jari sepanjang $6$. Tentukan persamaan lingkaran menggunakan rumus

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

Jawaban : 

Dalam rumus yang diberikan $(x1.y1)$ adalah koordinat pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari lingkaran. Kita dapat menyusun persamaan lingkaran dengan substitusi nilai sesuai dengan informasi yang diberikan: 

$(x-3)^2+(y-4)^2=6^2$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x-3)^2+(y-4)^2=36$

____________________________

Baca juga: Peluang: Definisi, Konsep, Rumus, dan Contoh Soalnya

Sobat Pijar, kita telah membahas secara singkat mengenai persamaan lingkaran dan cara menentukannya berdasarkan pusat dan jari-jarinya. Sobat Pijar diharapkan dapat memahami konsep ini dengan lebih baik dan dapat mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah Matematika.

Jadi, jangan ragu untuk terus menjelajahi dan mendalami dunia Matematika ya, Sobat Pijar. Kamu juga bisa banget belajar di Pijar Belajar untuk lebih memahaminya, lho. 

Tunggu apa lagi? Yuk, unduh Pijar Belajar sekarang!