Materi Limit Fungsi Aljabar: Pengertian, Teorema, Penentuan Nilai, dan Contoh Soalnya

Ujian akhir sekolah sudah semakin dekat nih, bagaimana persiapan Sobat Pijar mengenai materi limit fungsi aljabar, masih kesulitan? Terkendala karena materinya yang sulit? No worries! Yuk simak pengertian, fungsi, teorema, hingga contoh soalnya di ulasan berikut ini!

Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar - Materi Kelas 11

Apa itu Limit Fungsi Aljabar?

Limit dalam aljabar digunakan untuk mencari nilai tertentu, misalnya jika nilainya terlalu besar atau bahkan tidak terhingga. Limit fungsi aljabar itu harus bisa menjabarkan fungsi dalam batas tertentu yang didekati.

Fungsi aljabar secara teoritis itu artinya pendekatan nilai batas tertentu. Jadi, limit aljabar digunakan buat cari solusi jika suatu fungsi nilainya tidak terdefinisikan. Limit fungsi aljabar adalah batasan yang menggunakan pendekatan fungsi untuk merujuk ke titik-titik tertentu.

Bagaimana Teorema Limit Fungsi Aljabar?

Limit aljabar terdiri dari f(x) dan batas x yang dimasukkan ke dalam suatu fungsi. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi limit aljabar, misalnya nilai x yang mendekati satu titik atau nilai x yang mendekati tak terhingga.

Teorema merupakan dasar untuk memahami konsep terbentuknya sistem fungsi aljabar. Ada beberapa cara menghitung limit aljabar, misalnya fokus ke nilai x yang mendekati pemfaktoran, substitusi, dan dikali sekawan nilainya. Jika nilai x dalam limit aljabar mendekati tak terhingga, kamu bisa selesaikan masalahnya dengan memberi variabel pangkat tertinggi terus dikalikan sama akarnya yang sekawan.

Tapi, ketika kamu menghitung limit aljabar, pastikan kalau limit hasil perhitungannya tidak boleh sama dengan 0/0. Nilai 0/0 itu menunjukkan adanya ketidak-definisian pada nilai aljabar yang bisa bikin gagal penilaian. 

Bagaimana Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar?

Seperti yang sudah disebutkan tadi, untuk menghitung limit fungsi aljabar, ada beberapa cara yang bisa digunakan, yaitu substitusi, pemfaktoran, dan merasionalkan penyebut. Nah, setiap cara ini punya karakteristik masing-masing.

Cara Substitusi

Salah satu metode untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar adalah metode substitusi. Metode ini nih yang paling gampang dan simpel, karena Sobat Pijar hanya perlu mensubstitusi nilai ke dalam fungsi f(x) secara langsung. Tapi perlu diingat, metode ini hanya bisa dilakukan kalau hasil substitusi tidak menghasilkan nilai "tak tentu".

Contoh Soal:

Hitunglah nilai limit dari fungsi berikut:

Jawaban:

Untuk menghitung limit fungsi di atas, kita dapat menggunakan metode substitusi dengan mengganti variabel x dengan nilai yang mendekati 3, seperti 2,9; 2,99; 2,999; dan seterusnya. Namun, cara ini akan memakan waktu yang cukup lama dan merepotkan. Oleh karena itu, kita dapat melakukan penyederhanaan terlebih dahulu dengan cara faktorisasi. Faktorisasi yang sesuai adalah:

Dengan faktorisasi ini, kita dapat menyederhanakan fungsi awal menjadi:

Setelah fungsi disederhanakan, kita dapat mencoba lagi untuk mensubstitusikan variabel x dengan nilai yang mendekati 3. Jika kita mencoba dengan nilai 2,9, maka kita akan mendapatkan:

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah -17,9

Cara Pemfaktoran

Metode kedua untuk menentukan sifat-sifat limit fungsi aljabar adalah cara pemfaktoran. Metode ini berbeda dengan metode substitusi yang dijelaskan sebelumnya, metode pemfaktoran harus melalui proses pemfaktoran terlebih dahulu agar mendapatkan nilainya pasti. Setelah mendapatkan nilainya, baru bisa kamu substitusikan lagi pake rumusnya yaitu x -> c

Contoh Soal:

Hitunglah nilai limit dari fungsi berikut:

Jawaban:

Untuk menghitung limit fungsi di atas, kita dapat menggunakan metode pemfaktoran. Fungsi yang diberikan dapat difaktorkan menjadi:

Dengan faktorisasi ini, kamu dapat menyederhanakan fungsi awal menjadi:

Setelah fungsi disederhanakan, kamu dapat memperhatikan bahwa (x - 2) pada pembilang dan penyebut sama-sama muncul. Oleh karena itu, kamu dapat menyederhanakan fungsi menjadi:

Selanjutnya, kamu dapat mencoba lagi untuk mensubstitusikan variabel x dengan nilai yang mendekati 2. Jika kita mencoba dengan nilai 2,1, maka kita akan mendapatkan:

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah 10,61.

Cara Merasionalkan Penyebut

Metode terakhir untuk menentukan limit fungsi aljabar adalah dengan merasionalkan dulu penyebutnya. Rasionalisasi penyebut ini dilakukan hanya apabila metode substitusi nggak bisa dapetin nilai limit yang rasional. Nah, di tahap ini, Sobat Pijar kalikan saja fungsi dengan akar-akar yang cocok biar bentuknya jadi irasional dengan nilai x -> c. Nah, kalo metode rasionalisasi penyebut, Sobat Pijar harus ambil pangkat tertinggi di penyebutnya buat ngambil limitnya, ya. Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal:

Hitunglah nilai limit dari fungsi berikut:

Jawaban:

Untuk menghitung limit fungsi di atas, Sobat Pijar dapat menggunakan metode merasionalkan penyebut. Kamu dapat mengalikan dan membagi penyebut dan pembilang dengan (x + 4), sehingga kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi:

Setelah fungsi disederhanakan, kamu dapat memperhatikan bahwa (x - 4) pada pembilang dan penyebut sama-sama muncul. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi:

Selanjutnya, kamu dapat mencoba lagi untuk mensubstitusikan variabel x dengan nilai yang mendekati 4. Jika kita mencoba dengan nilai 4,1, maka kamu akan mendapatkan:

4,1+4=8,1

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah 8,1.

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar

Tentukan limit fungsi berikut jika x mendekati 1!

Jika menggunakan metode substitusi, Sobat Pijar ganti saja x dengan nilai mendekati 1, misalnya 1,1, 1,01, atau 1,001. Terus, kamu hitung nilai fx nya tiap kali. Kalo udah deket banget sama 1, nilai limitnya bisa kamu tebak-tebak.

Tapi kalo pake metode rasionalisasi penyebut, kamu harus pangkatkan penyebutnya biar nggak bentuk tidak tentu. Karena pangkat tertinggi di penyebutnya adalah 1.

Kamu bisa bagi penyebutnya sama x-1. Jadi, 

Nah, kalo udah kayak gitu, penyebutnya jadi x+1. Terus, kamu bisa ganti saja x dengan nilai mendekati 1, misalnya 1,1, 1,01, atau 1,001, dan hitung nilai fxnya tiap kali. Kalo udah deket banget sama 1, nilai limitnya bisa kamu tebak-tebak.

Rumus limit fungsi aljabar yang pake rasionalisasi penyebut kalo limit x mendekati a adalah sebagai berikut:

Baca juga: Materi Fungsi Kelas 10 | Mengenal Pengertian & Fungsi Matematika

___________________________

Gimana Sobat Pijar, udah dapat pencerahan soal materi limit fungsi aljabar? Jika masih bingung, kamu perlu rajin mengerjakan latihan soal seperti contoh-contoh soal tadi di aplikasi Pijar Belajar! 

Pijar Belajar merupakan platform belajar yang bisa kamu gunakan untuk memahami materi-materi dalam bentuk video pembelajaran, latihan soal, dan juga buku elektronik sekolah. Mudahnya lagi, kamu bisa mengaksesnya kapan saja dan di mana saja, lho!

Yuk, unduh Pijar Belajar sekarang juga!