Materi Dimensi Tiga: Jarak Dua Titik, Titik dan Garis, serta Titik dan Bidang

Materi dimensi tiga pada mata pelajaran matematika banyak ditemukan di kehidupan sehari-hari, lho! Misalnya, yaitu ketika kamu membuka kardus paket yang berbentuk kubus, membuka kaleng biskuit, membuat tumpeng kerucut, dan lain sebagainya.

Semua bangun ruang tersebut terdiri dari tiga komponen dasar, yakni titik, sudut, dan juga bidang. Dari komponen tersebut dapat diperoleh sudut dan juga jarak yang ada. Jika Sobat Pijar ingin tahu lebih dalam mengenai hal ini, simak materi dimensi tiga berikut ini, ya!

Baca juga: Rumus Luas Permukaan Tabung, Cara Menghitung & Contoh Soalnya

Apa itu Dimensi Tiga?

Untuk mempelajari materi dimensi tiga, yuk ketahui dulu apa definisinya! Pengertian dari dimensi tiga yaitu ilmu yang mempelajari tentang komponen-komponen yang ada di bangun ruang. Misalnya adalah seperti jarak, ukuran, titik, dan juga sudut.

Untuk lebih memahami materi dimensi tiga, coba untuk mengaplikasikannya pada benda yang mudah kamu temukan di kehidupan keseharian. Misalnya, jika kamu melihat kardus paket, maka kamu bisa lihat jika kardus paket tersebut pada dasarnya terdiri dari gabungan lebih dari 2 bangun datar.

Dengan adanya materi dimensi tiga, maka di dalam sebuah bidang dapat diketahui berapa ukuran jarak dan juga sudutnya. Jadi, Sobat Pijar bisa mengetahui berapa sih jarak antara titik yang ada pada kardus tersebut.

Kemudian, dari hal tersebut juga, kamu juga bisa mengetahui jika bangun ruang juga memiliki dimensi tiga, yakni kubus seperti kardus; kemudian juga ada balok, limas, tabung, dan bola.

Dengan begitu, untuk memudahkan Sobat Pijar dalam memahami tentang materi dimensi tiga, ada baiknya memiliki pemahaman soal bangun datar dan juga bangun ruang. Selain itu, materi dimensi tiga juga banyak mengaplikasikan ilmu Pythagoras, lho. Adapun hukumnya adalah sebagai berikut:

Lalu apa hubungannya dengan materi dimensi tiga? Pada ilmu Pythagoras, ini berguna untuk mengukur kedudukan garis ataupun jarak antar titik.

Kedudukan garis inilah yang esensial ketika sobat Pijar mempelajari materi dimensi tiga. Pada bidang tersebut, kedudukan 2 garis dapat dibagi menjadi dua, yakni:

1. Sejajar, yakni kedua garis punya garis kemiringan yang sama.
2. Berpotongan, yaitu ketika kedua garis punya paling sedikitnya satu titik yang sama maupun berpotongan. Salah satu jenis 2 garis yang berpotongan tersebut ketika 2 garis berpotongan serta membuat sudut siku-siku.

Jarak dalam Bangun Ruang

Dalam materi dimensi tiga, sobat Pijar tidak hanya memahami definisinya saja tetapi juga rumusnya. Salah satu rumus dalam dimensi tiga yaitu mencari jarak dan pada rumus tersebut terdiri dari beberapa unsur bidang geometri. Nah, ini dia penjelasannya:

1. Jarak Dua Titik

Unsur-unsur dimensi tiga yang pertama yakni jarak antara dua titik. Pada materi dimensi tiga, jarak dua titik ini dapat dijelaskan sebagai panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Dalam mencari jarak antara kedua titik yang panjangnya sudah diketahui, maka cara umum yang bisa digunakan adalah dengan mengaplikasikan rumus Pythagoras. Dengan demikian, rumusnya adalah sebagai berikut:

d = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Kemudian, pada materi dimensi tiga, jarak antara titik sebenarnya dapat diketahui dengan menggambar jarak sebagai salah satu sisi segitiga, seperti di bawah ini:

Dari kubus di atas dapat dilihat jika dengan menyambungkan antara titik E dengan C, maka dapat diketahui jarak antara titik E dan C yang digambarkan dengan garis merah. Dengan demikian, untuk menghitung jaraknya, dapat menggunakan rumus Pythagoras jika garis tersebut membentuk segitiga siku-siku.

Namun, jika tidak membentuk segitiga siku-siku, bisa menggunakan aturan sinus dan juga cosinus.

2. Jarak Titik dan Garis

Pada materi dimensi tiga, jarak suatu titik dengan garis tertentu akan sama dengan jarak terdekat dari dua komponen tersebut. Untuk menentukan jarak terdekatnya yakni dengan mencari garis dari titik ke garis yang bentuknya adalah sudut siku-siku.

Jadi, selain menggunakan rumus Pythagoras, jarak titik dan juga garis bisa diketahui dengan perbandingan luas dua segitiga. Lebih jelasnya, bisa dilihat gambar berikut:

Ada banyak garis yang bisa dibuat melalui titik P dan memotong garis K. Namun, garis yang tepat tegak lurus hanya ada satu garis. Dari gambar di atas, bisa dilihat jika garis tersebut adalah garis g.

Jadi, garis g memotong tegak lurus garis Q dan berada pada titik Q. Dengan begitu, bisa diketahui apabila jarak titik P ke garis K juga sama dengan panjang ruas garis PQ.

3. Jarak Titik dan Bidang

Sementara itu, dalam materi dimensi tiga dapat diketahui juga mengenai jarak titik dan juga bidang. Untuk lebih memahaminya, bisa dilihat gambar berikut:

Bisa dilihat dari titik A jika dibuat garis g, itulah yang disebut dengan tegak lurus bidang. Syarat yang bisa memenuhi disebut sebagai garis tegak lurus bidang adalah minimal tegak lurus dengan dua garis di bidang tersebut.

Jadi, garis g memotong bidang pada titik P’. Jadi, P’ adalah proyeksi tegak lurus titik P di bidang tersebut. Sementara itu, jarak titik P di bidang tersebut sama dengan panjang ruas garis PP’

Apa Rumus Dimensi Tiga dalam Mencari Besar Sudut?

Pada materi dimensi tiga juga diulas tentang berapa besar sudut pada suatu bidang. Sebelum membahas tentang rumusnya, sobat Pijar perlu ketahui dulu jika definisi dari sudut yakni pertemuan dari dua buah garis.

Di dimensi tiga, bisa dikatakan sudut apabila terjadi diantara 2 buah garis dan sudut berada diantara garis dan juga bidang. Contohnya adalah sebagai berikut

Pada dimensi tersebut, besaran sudutnya bisa diketahui menggunakan fungsi trigonometri, misalnya yakni cos θ, sin θ, dan juga tan θ. Pada segitiga siku-siku, dapat dilihat perbandingan trigonometri yang berlaku adalah:

Untuk lebih mudah menghafal rumus materi dimensi tiga khusus mencari besar sudut, caranya adalah:

1. Sin θ adalah $\frac {depan}{miring} = \frac{a}{c}$
2. Cos θ adalah $\frac{samping}{miring} = \frac{b}{c}$
3. Tan θ adalah $\frac{depan}{samping} = \frac{a}{b}$

Atau, sudut juga bisa diketahui menggunakan aturan cosinus jika segitiga tersebut bukanlah siku-siku, yaitu:

$c^2 = a^2 + b^2 = 2ab . cos θ$

Contoh Soal Dimensi Tiga

Untuk lebih memahami materi dimensi tiga, salah satu hal yang bisa dilakukan adalah dengan menjawab soal. Berikut ini adalah beberapa soal yang berhubungan dengan dimensi tiga:

1. Soal 1

Diketahui jika kubus ABCD EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Lalu, berapakah jarak titik H ke garis AC?

Jawab:

Jarak antara titik H ke AC adalah tinggi segitiga ACH. Pasalnya, segitiga pada titik ACH yakni segitiga sama sisi. Jadi, sisi-sisinya adalah AH, AC, dan juga CH.

Dengan demikian, X bisa diasosiasikan sebagai diagonal sisi kubus. Maka, tinggi segitiga ACH dapat dihitung:

$T = \frac{1}{2} \times x \sqrt{3}$

$T = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times \sqrt{3}$

$T = 4\sqrt{6}$

Dengan demikian, bisa diaplikasikan rumus jarak titik pada kubus adalah:

$T = \frac{1}{2a} \times \sqrt{6}$

Dengan demikian, tinggi segitia ACH adalah $4\sqrt{6}$.

2. Soal 2

Pada gambar di bawah ini, apabila titik P letaknya di tengah-tengah garis BF. Maka, berapakah jarak antara titik A dan juga P?

Jadi, diketahui bawah $PB = \frac{1}{2} 6$ sehingga PB = 3. Maka, nilai AP adalah:

$AP^2 = AB^2 + PB^2$

$AP^2 = 6^2 + 3^2$

$AP = \sqrt{45}$

$AP = 3\sqrt{5}$

Gimana? Sobat Pijar sudah berhasil menjawab soal-soal di atas dengan benar, kan? Sekarang, Pijar Belajar mau kasih kamu latihan soal lainnya, nih. Yuk, coba klik banner di bawah ini untuk mendalami lebih jauh tentang materi sudut dimensi tiga dan berbagai contoh soal lainnya.

_______________________________________________________________________

Baca juga: Rumus Limas - Luas Permukaan dan Volume

Sobat Pijar, itulah ulasan menarik tentang materi dimensi tiga, dimana kamu bisa mengetahui jarak dan juga sudut pada dimensi tersebut. Jangan lupa juga, ya, pahami tentang rumus phytagoras dan juga aturan trigonometri agar menjadi mahir dalam dimensi tiga.

Jika kamu tertarik untuk mempelajari materi matematika lain, Pijar Belajar bisa jadi solusinya! Kamu bisa mengakses konten pelajaran dalam bentuk video, latihan soal, dan buku elektronik di ponselmu dengan aplikasi ini, lho!

Yuk, unduh Pijar Belajar sekarang juga!