Cara Merasionalkan Bentuk Akar dan Sifat-Sifatnya

Wah, saat belajar matematika, Sobat Pijar pasti bertemu dengan istilah bentuk akar dan bilangan rasional. Apakah kamu sudah tahu apa itu bentuk akar dan contohnya atau seperti apa contoh bilangan rasional itu? Kalau belum tahu, kita kenalan sama-sama, yuk, dengan bentuk akar. 

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya berupa bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi lagi. Contohnya seperti 1, 2, 5, dan seterusnya. Nah, bentuk akar ini berkaitan erat dengan bentuk pangkat karena bentuk akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat pecahan. 

Limit tak hingga bentuk akar merupakan pendekatan pada bentuk akar yang besarnya tak terhingga, baik negatif maupun positif tak terhingga. Jika suatu bilangan dibagi bilangan tak hingga, maka hasilnya pasti sangat kecil, bahkan mendekati nol. Oleh karena itu, pembagian dengan bilangan tak hingga sering dianggap hasilnya nol. 

Dalam artikel kali ini, Pijar Belajar mau ajak kamu kenalan dengan definisi, cara merasionalkan bentuk akar, perpangkatan dan bentuk akar, serta cara menyederhanakan bentuk akar. Yuk, simak pembahasan lengkapnya. 

Baca juga: Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Positif dan Negatif

Sifat-sifat Bentuk Akar

Pada penjelasan sebelumnya, kita sudah kenalan dengan bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak bisa dibagi lagi. Nah, selain bilangan irasional, ada juga bilangan rasional, nih. Bilangan rasional merupakan bilangan yang bisa dibagi dengan bilangan lain, biasanya berbentuk bilangan bulat. Misalnya 4, 16, 17, 21, dan lain-lain. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang bukan merupakan bilangan bulat. Misalnya 1.5, 2.25, dan seterusnya. 

Dengan mengenal bentuk bilangan rasional dan irasional ini, Sobat Pijar bisa semakin mudah mengidentifikasikan sifat-sifat bentuk akar. Lalu, apa saja sifat bentuk akar? Dalam operasi bentuk akar, berlaku beberapa sifat di bawah ini:

1. Kebalikan dari Bilangan Berpangkat

Bentuk akar adalah kebalikan dari bilangan berpangkat. Jadi, jika 3² = 9, maka √9 = 3. Kemudian, Jika 2³ = 8, maka ³√8 = 2. 

2. Merupakan Bentuk Lain dari Bilangan Berpangkat

Bentuk akar bisa ditulis dengan bentuk pangkat dan begitu juga sebaliknya. Berikut beberapa contohnya:

√25 = $25^½$

³√217 = $216^{\frac{1}{3}} = (6³)^{\frac{1}{3}} = 6¹ = 6$  

3. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Ada beberapa sifat bentuk akar yang terkait dengan perkalian dan pembagian, yaitu:

1. ⁿ√aⁿ = a
2. ⁿ√a x b = ⁿ√a x ⁿ√b
3. ⁿ√a/b = ⁿ√a / ⁿ√b. 

Supaya lebih memahami sifat perkalian dan pembagian bentuk akar, berikut ini contohnya:

√18 = n

n = √9 x √2

n = 3√2

4. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar sebenarnya mirip dengan penjumlahan dan pengurangan pada aljabar. Misalnya pada 2ⁿ + 4ⁿ = (2 + 4)ⁿ = 6ⁿ karena pangkatnya sama. Tapi jika pangkatnya berbeda, seperti 3p + 5x, maka bentuk penjumlahan ini nggak bisa disederhanakan karena kedua variabel pangkatnya berbeda. 

Jika diterapkan dalam bentuk akar, maka penjumlahan dan pengurangan akan menjadi seperti di bawah ini:

m√a + n√a = (m + n) √a

m√a - n√a = (m - n) √a.

Berikut ini beberapa contohnya:

³√7 + ²√7

= ⁽³⁺²⁾√7

= ⁵√7.

⁹√5 - ¹⁰√5 

= ⁽⁹⁻¹⁰⁾√5

= ⁻√5. 

Cara Merasionalkan Bentuk Akar

Sobat Pijar, penggunaan bentuk akar ini ternyata harus ditulis dalam bentuk yang paling sederhana, lho. Hal ini dilakukan agar penggunaan bentuk akar lebih efektif. Akan tetapi, tak jarang ditemukan bentuk akar yang tidak sederhana. Oleh karena itu, kita harus merasionalkan bentuk akar tersebut. 

Cara merasionalkan bentuk akar bisa dilakukan dengan beberapa tahap. Namun, sebelum mulai memahami cara merasionalkan bentuk akar, ada baiknya kamu mengetahui dulu ciri atau syarat suatu bentuk akar perlu dirasionalkan. Berikut syarat-syarat dalam merasionalkan bentuk akar. 

1. Pangkat pada bilangan faktor harus kurang dari indeks akarnya. Contohnya, pada bentuk akar $√x^3$, pangkat dari x lebih besar dari indeks akarnya karena indeks akar x adalah 2 sementara pangkatnya 3. Oleh karena itu, $√x^3$ belum berbentuk sederhana dan perlu dirasionalkan. 
2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut pecahan. Contohnya seperti bentuk akar $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Bentuk akar tersebut bukanlah bentuk akar sederhana sehingga perlu dirasionalkan. 
3. Di dalam akar tidak memudah bentuk pecahan. Contohnya seperti $\sqrt{\frac{1}{2}}$. Bentuk akar ini belum berbentuk sederhana, ya, sehingga kamu perlu merasionalkannya lebih dulu. 

Nah, gimana, sih, cara merasionalkan bentuk akar itu? Terdapat dua cara merasionalkan bentuk akar, yaitu cara merasionalkan bentuk akar dengan pangkat lebih besar dari indeks akar dan cara merasionalkan bentuk akar pada penyebut pecahan. 

Cara Merasionalkan Bentuk Akar dengan Pangkat Lebih Besar dari Indeks Akar

Kalau Sobat Pijar ingin merasionalkan bentuk akar dengan pangkat lebih besar dari indeks akarnya, kamu bisa melakukan penjabaran pada bentuk pangkatnya, ya. Yuk, coba lihat contohnya di bawah ini. 

$\sqrt{x^9}$

$= \sqrt{x^8 \times x^1}$

$= \sqrt{x^8} . \sqrt{x^1}$

$= x^4 . \sqrt{1}$

Cara Merasionalkan Bentuk Akar pada Penyebut Pecahan

Kemudian, untuk merasionalkan bentuk akar yang terdapat pada penyebut pecahan, kamu bisa coba mengalikan bentuk akar tersebut dengan bentuk akar sekawan yang sama dengan penyebutnya. Terdapat tiga cara yang bisa kamu lakukan, yaitu sebagai berikut. 

1. Cara Merasionalkan Bentuk Akar $\frac{a}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}}$

2. Cara Merasionalkan Bentuk Akar $\frac{a}{b + \sqrt{c}}$

$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a}{b + \sqrt{c}} \times \frac{b - \sqrt{c}}{b - \sqrt{c}}$  

$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a (b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$

3. Cara Merasionalkan Bentuk Akar $\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$

$\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \times \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{b} - \sqrt{c}}$

$\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a (\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}$

Contoh Soal Bentuk Akar

Agar lebih paham tentang bentuk akar dan cara merasionalkan bentuk akar, maka Sobat Pijar bisa melatih kemampuan dengan berbagai contoh soal merasionalkan bentuk akar. Berikut ini adalah beberapa soal merasionalkan bentuk akar kelas 9 yang bisa kamu pelajari: 

1. Tentukan bentuk perpangkatan paling sederhana dari bentuk akar berikut 2√8 x √3

A. 6√6

B. 6√3

C. 4√6

D. 4√3. 

Jawaban: C. 4√6

Pembahasan:

$\sqrt[2]{8} \times \sqrt{3} = \sqrt[2]{8 \times 3}$

$\sqrt[2]{8} \times \sqrt{3} = \sqrt[2]{24}$

$\sqrt[2]{8} \times \sqrt{3} = \sqrt[2]{4 \times 6}$

$\sqrt[2]{8} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt[2]{6}$

$\sqrt[2]{8} \times \sqrt{3} = \sqrt[4]{6}$

2. Sederhanakan bentuk akar berikut 2/√6 dengan merasionalkan penyebutnya, maka menjadi:

A. √6

B. 1/6 √12

C. 1/3 √6

D. 2√6. 

Jawaban: 1/3 √6

Pembahasan:

$\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \times \sqrt{6} \sqrt{6}$

$\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt[2]{6})}{\sqrt{36}}$

$\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt[2]{6})}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3} \sqrt{6}$

3. Sederhanakanlah bentuk akar berikut 20/(√8- √3) akan menjadi:

A. 5(√8-√3)

B. 5(√8+√3)

C. 4(√8-√3)

D. 4(√8+√3). 

Jawaban: D. 4(√8+√3)

Pembahasan:

$\frac{20}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = \frac{20}{(\sqrt{8} - \sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{(\sqrt{8} - \sqrt{3})}$

$\frac{20}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = \frac{20(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{(\sqrt{8} - \sqrt{3})(\sqrt{8} - \sqrt{3})}$

$\frac{20}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = \frac{20(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{( 8 - 3)}$

$\frac{20}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = \frac{20(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{5}$

$\frac{20}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = 4(\sqrt{8} + \sqrt{3})$

4. Diketahui a =√2 dan b = √3 . Nilai dari 5ab + 2√24 adalah:

A. 7√6

B. 4√24

C. 9√6

D. 7√24.

Jawaban: C. 9√6

Pembahasan:

a =√2

b = √3

maka:

$5ab + 2 √24 = 5 \times √2 \times √3 + 2 √24$

$= 5 √6 + 2 √4 \times 6$

$= 5 √6 + 2 \times 2 √6$

$= 5 √6 + 4 √6$

$= 9 √6$

5. Dari pilihan berikut ini, manakah bentuk sederhana dari √300 ?

A. 40√3

B. 30√3

C. 20√3

D. 10√3. 

Jawaban: D. 10√3

Pembahasan:

$√300 = √100 x 3$

  $= 10√3$

____________________________________________________

Baca juga: Contoh Soal dan Rumus Dilatasi Transformasi Geometri Matematika

Nah, sudah lebih paham kan tentang cara merasionalkan bentuk akar? Sobat Pijar juga bisa mendapatkan contoh soal merasionalkan bentuk akar kelas 10 di situs Pijar Belajar. Yuk, kunjungi website Pijar Belajar dan mulai akses latihan soal hingga video materinya sekarang!