Belajar Barisan dan Deret Geometri Matematika Kelas 11

Kamu mungkin sering mendengar tentang barisan aritmatika dan geometri, ya. Biasanya istilah itu kamu dengar dalam pelajaran matematika. Nah, dalam artikel kali ini, Pijar Belajar akan membahas mengenai barisan dan deret geometri, nih, mulai dari definisi, perbedaan, hingga rumus dan contoh soalnya. Yuk, simak penjelasannya berikut ini!

Baca juga: Rumus Limas - Luas Permukaan dan Volume

Definisi Barisan Dan Deret Geometri

Barisan dan deret geometri merupakan barisan bilangan dengan pola perbandingan (hasil bagi) tetap untuk setiap dua suku yang berdekatan/berurutan. Perbandingan dua suku yang berurutan ini disebut dengan rasio dan lambangnya adalah r.

Misalnya, kamu memiliki barisan bilangan berurutan yaitu:

2,4,8,16,32,...

Coba kamu perhatikan, pada barisan bilangan di atas terlihat jelas antara suku pertama, kedua, ketiga, dan keempat dengan faktor pengali yang sama. Faktor pengalinya adalah sama-sama dikalikan dengan 2. Nah, bentuk barisan bilangan inilah yang disebut dengan barisan geometri. 

Barisan ini bisa juga ditulis dalam bentuk penjumlahan seperti berikut ini.

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....

Namun, kalau bentuknya seperti ini namanya sudah bukan barisan geometri lagi, ya, melainkan deret geometri. Deret geometri juga ada yang bentuknya tak hingga. Maksudnya adalah deret ini bisa kamu teruskan sampai nilainya tak terhingga. 

Pembahasan mengenai deret tak hingga ini akan saya bahas juga di sini setelah barisan dan deret geometri. Sudah siap belajar barisan dan deret geometri? Ayo siapkan catatanmu, ya.

Rumus-Rumus Pada Barisan Geometri Dan Deret Geometri

Setelah kamu memahami perbedaan antara barisan dan deret geometri, selanjutnya Pijar Belajar akan menjelaskan tentang rumus-rumusnya. Umumnya, ada tiga rumus yang harus kamu ketahui, yaitu rumus rasio, rumus Un dan rumus Sn. Untuk lebih jelasnya, simak pembahasannya satu persatu di bawah ini.

1.  Persamaan Rasio Pada Barisan Dan Deret Geometri

Rasio atau perbandingan merupakan nilai pengali pada barisan dan deret. Supaya kamu mudah mencari rasio dalam sebuah barisan atau deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus sebagai berikut:

Rumus Rasio

Keterangan:

r = rasio,

Un = suku ke-n,

Un-1 = suku ke- (n-1)

Contoh soal 

Dalam barisan geometri: 2, 4, 8, 16, 32, … Berapakah nilai rasionya? 

Suku pertama (a) pada barisan geometri tersebut adalah 2. Oleh karena itu rasio atau r-nya adalah: 

$r = \frac{U_n}{U_{n-1}}$

$r = \frac{U_2}{U_1}$

$r = \frac{4}{2}$

$r = 2$

Maka, rasio dari barisan geometri pada contoh tersebut adalah 2.

2.  Persamaan Un Pada Barisan Dan Deret Geometri

Un merupakan suku ke-n atau suku pada urutan tertentu dalam barisan dan deret. Jika kamu ingin mencari suku tertentu pada barisan dan deret geometri, rumus yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.

Rumus Un

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

Contoh soal

Kamu punya sebuah barisan bilangan yaitu: 2, 4, 8, 16, 32, ... Tentukan suku ke 6 dalam barisan tersebut.

Nah, cara tepat untuk mendapatkan nilai Un yang ke 6 adalah:

$U_n = ar^{n-1}$

$U_6 = ar^{6-1}$

$U_6 = ar^5$

$U_6 = 2 \times 2^5$

$U_6 = 2 \times 32$

$U_6 = 64$

Dengan demikian, U6 atau suku ke-6 pada barisan geometri tersebut adalah 64.

Bagaimana, cukup mudah bukan cara menggunakan rumusnya? Tips mengerjakan perhitungan ini adalah , kamu harus mengetahui berapa rasionya. Makanya, kamu harus mencari terlebih dahulu berapa nilai a atau suku pertama dan r atau rasionya. 

3. Persamaan Sn Pada Barisan Dan Deret Geometri

Sn merupakan jumlah suku ke -n atau suku tertentu pada sebuah barisan dan deret geometri. Bagaimana cara mencari suku ke-n pada barisan dan deret geometri, berikut rumus dan contoh soalnya.

Rumus Sn 

Keterangan:

Sn = jumlah suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

Contoh soal

Misalkan kamu punya barisan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, ... maka untuk mencari Sn dengan n adalah 3 maka cara yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut:

$S_n = \frac{a - (r^{n-1})}{r-1}$

$S_3 = \frac{2(2^3 - 1)}{2-1}$

$S_3 = \frac{2(8-1)}{1}$

$S_3 = \frac{2(7)}{1}$

$S_3 = 14$

Dengan demikian, S3 dari barisan geometri tersebut adalah 14.

Rumus Mencari Suku Tengah Baris Geometri

Perlu diketahui bahwa pada barisan geometri ada juga yang namanya suku tengah barisan geometri. Pada barisan geometri yang banyak sukunya ganjil, maka rumus yang bisa kamu gunakan untuk mencari suku tengah barisan yakni:

Selain suku tengah barisan, ada juga sisipan pada barisan geometri. Seandainya kamu menemukan barisan geometri dengan rasio r. Kemudian barisan tersebut disisipi k bilangan pada setiap 2 bilangan yang berdekatan.

Setelah mendapatkan sisipan k bilangan, maka terbentuk barisan geometri baru dengan rasio k.

Yang jadi pertanyaan adalah berapa rasio pada barisan geometri baru tersebut. Untuk memudahkan kamu mencari rasio tersebut, gunakan rumus di bawah ini:

Nah, itulah pembahasan mengenai barisan dan deret geometri. Selanjutnya saya akan membahas tentang deret geometri tak hingga. Agar kamu lebih paham, berikut penjelasannya.

Deret Geometri Tak hingga

Deret geometri tak hingga dapat dibagi menjadi 2 jenis yakni.

1. Deret geometri tak hingga divergen
2. Deret geometri tak hingga konvergen

Kedua deret ini mempunyai perbedaan yang cukup penting. Mari lihat bersama apa pengertian kedua jenis deret tak hingga ini serta perbedaannya.

1.   Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Merupakan suatu deret geometri yang nilai bilangannya semakin membesar dan jumlahnya tak bisa dihitung. Kamu bisa lihat pada contoh berikut:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....

Jika kamu bertanya berapa jumlah seluruhnya, maka kamu tidak akan bisa menghitungnya. Pasalnya nilainya akan semakin membesar.

2.   Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Jenis deret geometri konvergen berbeda dengan divergen. Jika kamu tak bisa menghitung deret geometri divergen, sebaliknya deret geometri konvergen akan dengan mudah kamu hitung. Hal ini karena nilai bilangan pada deret geometri konvergen akan semakin mengecil. Contohnya seperti:

4 + (-2) + 1 + (-12) + ...

Dari sini dapat kamu lihat, semakin lama maka nilainya akan makin mengecil dan akhirnya akan mendekati angka 0. Oleh sebab itu, kamu dapat menghitung dengan mudah jumlah seluruhnya pada deret geometri tak hingga konvergen.

Lantas, adakah cara atau rumus yang bisa digunakan untuk mencari jumlah nilai seluruhnya pada deret tak hingga konvergen? Jawabannya ada. Namun sebelum mengetahui rumus tersebut kamu harus paham tentang rasio pada deret ini. Rasio pada deret ini harus bernilai antara -1 hingga 1 (-1 < r < 1). Ini berlaku untuk bilangan negatif dan positif.

Kamu bisa melihat contoh mudahnya pada barisan deret geometri konvergen di atas. Pada deret tersebut rasio yang tampak adalah -. Dengan begitu kamu bisa menghitung jumlah deret tak hingganya.

Adapun rumus yang bisa kamu pakai untuk mencari deret geometri tak hingga konvergen adalah:

Rumus S Tak Hingga

Keterangan:

$S_\infty$ = jumlah suku tak hingga

a = suku pertama

r = rasio

Untuk memudahkan kamu menggunakan rumus deret tak hingga konvergen ini, coba perhatikan contoh soal berikut.

Kamu memiliki deret geometri tak hingga dengan barisan deret bilangan yakni $4 + -2 + 1 + -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ....$ Untuk mencari $S_\infty$ maka caranya adalah....

$S_\infty = \frac{a}{1-r}$

$S_\infty = \frac{4}{1 - (-\frac{1}{2})}$

$S_\infty = \frac{4}{1 + \frac{1}{2}}$

$S_\infty = \frac{4}{\frac{3}{2}}$

$S_\infty = 4 \times \frac{2}{3}$

$S_\infty = \frac{8}{3}$

Jadi Stak hingga atau S∞ pada deret geometri tak hingga konvergen tersebut yaitu $\frac{8}{3}$.

Contoh Soal Barisan Dan Deret Geometri

Supaya kamu lebih memahami pelajaran matematika mengenai barisan dan deret geometri yuk simak contoh soal dan pembahasan di bawah ini

Berikut ini adalah deret geometri:

$34+32+3+6+ ...+P = 7654$

Nilai P yang sesuai dengan deret di atas adalah...

A. 86          C. 92         E. 102

B. 90          D. 96

Pembahasan :

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama =34 dan rasio r=2.

Berdasarkan formula deret geometri:

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

$\frac{765}{4} = \frac{\frac{3}{4}(2^n - 1)}{2 -1}$

$\frac{765}{4} = \frac{\frac{3}{4} (2^n - 1)}{2-1}$

$\frac{765}{4} = \frac{3}{4} (2^n - 1)$

$\frac{765}{4} \times \frac{4}{3} = (2^n - 1)$

$\frac{765}{3} = (2^n -1)$

$255 = (2^n -1)$

$255 + 1 = 2^n$

$256 = 2^n$

$n = 8$

Setelah mendapatkan  U8 = P dengan menggunakan formula barisan geometri:

Maka:

$P = U_S = \frac{3}{4}(2)^7 = 96$

jadi nilai dari P = 96 (D).

Sobat Pijar ingin tahu latihan soal matematika lainnya? Coba klik banner di bawah ini, yuk, untuk mulai belajar bareng Pijar Belajar!

Baca juga: Cara Menghitung Pecahan Biasa dan Pecahan Campuran

_________________________________________________________

Demikianlah pembahasan mengenai pelajaran matematika dengan tema barisan dan deret geometri. Semoga kamu bisa memahaminya, jangan lupa cobalah untuk mengerjakan latihan soalnya ya. Selamat belajar dan semangat!

Kamu juga bisa mengakses banyak latihan soal baris dan deret geometri di Pijar Belajar, lho. Pijar Belajar menyediakan berbagai latihan soal dan video pembahasan yang bisa kamu akses kapan saja dan dimana saja. Tunggu apa lagi? Yuk, download Pijar Belajar sekarang!